ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 495

Упростим выражение: $$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)} $$ Применим формулы синуса суммы и косинуса суммы аргументов: $$ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $$ $$ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $$ Распишем каждое слагаемое, подставив табличные значения $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $$ $$ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $$ Найдем значение числителя: $$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) - \left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) $$ $$ = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \sqrt{3}\sin\alpha $$ Найдем значение знаменателя: $$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) + \left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) $$ $$ = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = 2 \cdot \frac{1}{2}\cos\alpha = \cos\alpha $$ Подставим полученные результаты в исходную дробь: $$ \frac{\sqrt{3}\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sqrt{3} \operatorname{tg}\alpha $$ Ответ: $\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha$.