ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 476

При решении используются свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$, $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$, $\operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg} \alpha$, а также основные тригонометрические формулы. 1) Упростим выражение $\operatorname{tg}(-\alpha) \cos \alpha + \sin \alpha$: $$ \operatorname{tg}(-\alpha) \cos \alpha + \sin \alpha = -\operatorname{tg} \alpha \cos \alpha + \sin \alpha = -\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha + \sin \alpha = -\sin \alpha + \sin \alpha = 0 $$ 2) Упростим выражение $\cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha (-\sin \alpha)$: $$ \cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha (-\sin \alpha) = \cos \alpha + \operatorname{ctg} \alpha \sin \alpha = \cos \alpha + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha = \cos \alpha + \cos \alpha = 2\cos \alpha $$ 3) Упростим выражение $\frac{\cos(-\alpha) + \sin(-\alpha)}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}$: Применим свойства четности в числителе и формулу разности квадратов в знаменателе: $$ \frac{\cos(-\alpha) + \sin(-\alpha)}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{1}{\cos \alpha + \sin \alpha} $$ 4) Упростим выражение $\operatorname{tg}(-\alpha) \operatorname{ctg}(-\alpha) + \cos^2(-\alpha) + \sin^2 \alpha$: Учитывая, что $(-\operatorname{tg} \alpha) \cdot (-\operatorname{ctg} \alpha) = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha = 1$, а также основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, получаем: $$ \operatorname{tg}(-\alpha) \operatorname{ctg}(-\alpha) + \cos^2(-\alpha) + \sin^2 \alpha = (-\operatorname{tg} \alpha) \cdot (-\operatorname{ctg} \alpha) + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 + 1 = 2 $$ Ответ: 1) $0$; 2) $2\cos \alpha$; 3) $\frac{1}{\cos \alpha + \sin \alpha}$; 4) $2$.