ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 429

По определению на единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$ косинус числа $\alpha$ равен абсциссе $x$, а синус числа $\alpha$ равен ординате $y$ соответствующей точки: $x = \cos \alpha$, $y = \sin \alpha$. 1) $\sin \alpha = 1$ Ордината точки равна $1$ ($y = 1$). Проведём прямую $y = 1$. Она касается единичной окружности в одной точке — верхней точке пересечения окружности с осью ординат. Искомая точка имеет координаты $(0; 1)$. Она соответствует числу $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin \alpha = 0$ Ордината точки равна $0$ ($y = 0$). Прямая $y = 0$ (ось абсцисс $Ox$) пересекает единичную окружность в двух точках: - правая точка с координатами $(1; 0)$, соответствующая $\alpha = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; - левая точка с координатами $(-1; 0)$, соответствующая $\alpha = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Общая запись: $\alpha = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Точки: $(1; 0)$ и $(-1; 0)$. 3) $\cos \alpha = -1$ Абсцисса точки равна $-1$ ($x = -1$). Проведём прямую $x = -1$. Она касается окружности в крайней левой точке на оси $Ox$. Искомая точка имеет координаты $(-1; 0)$. Она соответствует числу $\alpha = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. 4) $\cos \alpha = 0$ Абсцисса точки равна $0$ ($x = 0$). Прямая $x = 0$ (ось ординат $Oy$) пересекает единичную окружность в двух точках: - верхняя точка с координатами $(0; 1)$, соответствующая $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; - нижняя точка с координатами $(0; -1)$, соответствующая $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Общая запись: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Точки: $(0; 1)$ и $(0; -1)$. 5) $\sin \alpha = -0,6$ Ордината точки равна $-0,6$ ($y = -0,6$). Проведём горизонтальную прямую $y = -0,6$. Она пересекает единичную окружность в двух точках, расположенных в III и IV координатных четвертях. Найдём абсциссы этих точек: $$ x = \pm \sqrt{1 - y^2} = \pm \sqrt{1 - (-0,6)^2} = \pm \sqrt{1 - 0,36} = \pm \sqrt{0,64} = \pm 0,8 $$ Искомые точки: $(-0,8; -0,6)$ (в III четверти) и $(0,8; -0,6)$ (в IV четверти). 6) $\sin \alpha = 0,5$ Ордината точки равна $0,5$ ($y = \frac{1}{2}$). Проведём горизонтальную прямую через середину положительной полуоси $Oy$ ($y = 0,5$). Она пересекает единичную окружность в двух точках, расположенных в I и II координатных четвертях: $$ x = \pm \sqrt{1 - (0,5)^2} = \pm \sqrt{1 - 0,25} = \pm \sqrt{0,75} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Искомые точки: $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; 0,5\right)$ (соответствует $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$) и $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; 0,5\right)$ (соответствует $\alpha = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$). 7) $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ Абсцисса точки равна $\frac{1}{3}$ ($x = \frac{1}{3}$). Проведём вертикальную прямую через точку с координатой $x = \frac{1}{3}$ на оси $Ox$. Она пересекает окружность в двух точках, расположенных в I и IV координатных четвертях. Найдём ординаты этих точек: $$ y = \pm \sqrt{1 - x^2} = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} $$ Искомые точки: $\left(\frac{1}{3}; \frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ (в I четверти) и $\left(\frac{1}{3}; -\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ (в IV четверти).