ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 397

1) Решим неравенство: $$ 4 \log_{4} x - 33 \log_{x} 4 \leqslant 1 $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $$ Используем формулу перехода к новому основанию $\log_{x} 4 = \dfrac{1}{\log_{4} x}$: $$ 4 \log_{4} x - \frac{33}{\log_{4} x} \leqslant 1 $$ Пусть $t = \log_{4} x$, причем $t \neq 0$ (так как $x \neq 1$). Получаем неравенство: $$ 4t - \frac{33}{t} \leqslant 1 $$ Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$ 4t - 1 - \frac{33}{t} \leqslant 0 $$ $$ \frac{4t^2 - t - 33}{t} \leqslant 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена в числителе: $$ 4t^2 - t - 33 = 0 $$ $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-33) = 1 + 528 = 529 = 23^2 $$ $$ t_1 = \frac{1 - 23}{2 \cdot 4} = -\frac{22}{8} = -\frac{11}{4} $$ $$ t_2 = \frac{1 + 23}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3 $$ Разложим числитель на множители: $$ \frac{4\left(t + \frac{11}{4}\right)(t - 3)}{t} \leqslant 0 $$ Решим неравенство методом интервалов относительно переменной $t$: $$ t \leqslant -\frac{11}{4} \quad \text{или} \quad 0 < t \leqslant 3 $$ Вернемся к исходной переменной $x$, учитывая, что основание логарифма $4 > 1$ (знак неравенства сохраняется), а также ОДЗ ($x > 0$): 1. При $t \leqslant -\dfrac{11}{4}$: $$ \log_{4} x \leqslant -\frac{11}{4} $$ $$ 0 < x \leqslant 4^{-\frac{11}{4}} $$ Преобразуем правую часть: $$ 4^{-\frac{11}{4}} = \left(2^2\right)^{-\frac{11}{4}} = 2^{-\frac{11}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2^{11}}} = \frac{1}{32\sqrt{2}} $$ Получаем: $$ 0 < x \leqslant \frac{1}{32\sqrt{2}} $$ 2. При $0 < t \leqslant 3$: $$ 0 < \log_{4} x \leqslant 3 $$ $$ 4^0 < x \leqslant 4^3 $$ $$ 1 < x \leqslant 64 $$ Объединяя найденные промежутки, получаем: $$ x \in \left(0; \, 4^{-\frac{11}{4}}\right] \cup (1; \, 64] $$ Ответ: $\left(0; \, 4^{-\frac{11}{4}}\right] \cup (1; \, 64]$ (или $\left(0; \, \dfrac{1}{32\sqrt{2}}\right] \cup (1; \, 64]$). --- 2) Решим неравенство: $$ \log_{x} 3 \leqslant 4 (1 + \log_{\frac{1}{3}} x) $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $$ Перейдем во всех логарифмах к основанию $3$, используя формулы $\log_{x} 3 = \dfrac{1}{\log_{3} x}$ и $\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = -\log_{3} x$: $$ \frac{1}{\log_{3} x} \leqslant 4(1 - \log_{3} x) $$ Сделаем замену переменной $t = \log_{3} x$, где $t \neq 0$: $$ \frac{1}{t} \leqslant 4(1 - t) $$ $$ \frac{1}{t} \leqslant 4 - 4t $$ Перенесем слагаемые в левую часть: $$ 4t - 4 + \frac{1}{t} \leqslant 0 $$ $$ \frac{4t^2 - 4t + 1}{t} \leqslant 0 $$ Свернем числитель по формуле квадрата разности: $$ \frac{(2t - 1)^2}{t} \leqslant 0 $$ Так как выражение $(2t - 1)^2 \geqslant 0$ при всех действительных $t$, то дробь неположительна в двух случаях: 1. Числитель равен нулю: $$ (2t - 1)^2 = 0 \implies 2t - 1 = 0 \implies t = \frac{1}{2} $$ 2. Знаменатель отрицателен: $$ t < 0 $$ Вернемся к замене $t = \log_{3} x$: 1. При $t = \dfrac{1}{2}$: $$ \log_{3} x = \frac{1}{2} \implies x = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} $$ 2. При $t < 0$: $$ \log_{3} x < 0 $$ Так как основание $3 > 1$, учитывая ОДЗ ($x > 0$): $$ 0 < x < 3^0 \implies 0 < x < 1 $$ Объединяем полученные решения: $$ x \in (0; \, 1) \cup \{\sqrt{3}\} $$ Ответ: $(0; \, 1) \cup \{\sqrt{3}\}$.