ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 380

**1)** $\log_2(x - 2) + \log_2(x - 3) = 1$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 2 > 0, \\ x - 3 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2, \\ x > 3 \end{cases} \iff x > 3 $$ Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$: $$ \log_2((x - 2)(x - 3)) = 1 $$ По определению логарифма: $$ (x - 2)(x - 3) = 2^1 $$ $$ x^2 - 3x - 2x + 6 = 2 $$ $$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 1, \quad x_2 = 4 $$ Сравниваем полученные корни с ОДЗ ($x > 3$): * $x = 1$ — посторонний корень, так как $1 < 3$; * $x = 4$ — удовлетворяет условию $4 > 3$. Ответ: $4$. --- **2)** $\log_3(5 - x) + \log_3(-1 - x) = 3$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 5 - x > 0, \\ -1 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 5, \\ x < -1 \end{cases} \iff x < -1 $$ Применим свойство суммы логарифмов: $$ \log_3((5 - x)(-1 - x)) = 3 $$ По определению логарифма: $$ (5 - x)(-1 - x) = 3^3 $$ $$ -5 - 5x + x + x^2 = 27 $$ $$ x^2 - 4x - 5 - 27 = 0 $$ $$ x^2 - 4x - 32 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 = 12^2 $$ $$ x_1 = \frac{4 + 12}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{4 - 12}{2} = -4 $$ Проверим корни по ОДЗ ($x < -1$): * $x = 8$ — посторонний корень, так как $8 > -1$; * $x = -4$ — удовлетворяет условию $-4 < -1$. Ответ: $-4$. --- **3)** $\lg(x - 2) + \lg x = \lg 3$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 2 > 0, \\ x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2, \\ x > 0 \end{cases} \iff x > 2 $$ Применим свойство суммы логарифмов: $$ \lg((x - 2) \cdot x) = \lg 3 $$ Так как основания логарифмов равны, приравняем их аргументы: $$ x(x - 2) = 3 $$ $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 3, \quad x_2 = -1 $$ Проверим корни по ОДЗ ($x > 2$): * $x = -1$ — посторонний корень, так как $-1 < 2$; * $x = 3$ — удовлетворяет условию $3 > 2$. Ответ: $3$. --- **4)** $\log_{\sqrt{6}}(x - 1) + \log_{\sqrt{6}}(x + 4) = \log_{\sqrt{6}} 6$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 1 > 0, \\ x + 4 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1, \\ x > -4 \end{cases} \iff x > 1 $$ Применим свойство суммы логарифмов: $$ \log_{\sqrt{6}}((x - 1)(x + 4)) = \log_{\sqrt{6}} 6 $$ Приравняем подлогарифмические выражения: $$ (x - 1)(x + 4) = 6 $$ $$ x^2 + 4x - x - 4 = 6 $$ $$ x^2 + 3x - 10 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 2, \quad x_2 = -5 $$ Проверим корни по ОДЗ ($x > 1$): * $x = -5$ — посторонний корень, так как $-5 < 1$; * $x = 2$ — удовлетворяет условию $2 > 1$. Ответ: $2$.