ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 339

**1)** Решим уравнение: $$\frac{1}{2}\lg\left(x^{2}+x-5\right)=\lg\left(5x\right)+\lg\frac{1}{5x}$$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$\begin{cases} x^2 + x - 5 > 0, \\ 5x > 0, \\ \dfrac{1}{5x} > 0. \end{cases}$$ Из двух последних неравенств следует, что $x > 0$. Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$: $$\lg(5x) + \lg\frac{1}{5x} = \lg\left(5x \cdot \frac{1}{5x}\right) = \lg 1 = 0$$ Подставим полученное значение в исходное уравнение: $$\frac{1}{2}\lg\left(x^{2}+x-5\right) = 0$$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$\lg\left(x^{2}+x-5\right) = 0$$ По определению логарифма: $$x^2 + x - 5 = 10^0$$ $$x^2 + x - 5 = 1$$ $$x^2 + x - 6 = 0$$ По теореме Виета: $$x_1 = 2, \quad x_2 = -3$$ Проверим найденные значения с учетом ОДЗ: * При $x = -3$: условие $x > 0$ не выполняется (аргумент $5x = -15 < 0$), поэтому $x = -3$ — посторонний корень. * При $x = 2$: $x > 0$ и $x^2 + x - 5 = 2^2 + 2 - 5 = 1 > 0$ — условия ОДЗ выполняются. Ответ: $x = 2$. --- **2)** Решим уравнение: $$\frac{1}{2}\lg\left(x^{2}-4x-1\right)=\lg\left(8x\right)-\lg\left(4x\right)$$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$\begin{cases} x^2 - 4x - 1 > 0, \\ 8x > 0, \\ 4x > 0. \end{cases}$$ Из условий $8x > 0$ и $4x > 0$ следует, что $x > 0$. Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg\dfrac{a}{b}$: $$\lg(8x) - \lg(4x) = \lg\left(\frac{8x}{4x}\right) = \lg 2$$ Уравнение принимает вид: $$\frac{1}{2}\lg\left(x^{2}-4x-1\right) = \lg 2$$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$\lg\left(x^{2}-4x-1\right) = 2\lg 2$$ $$\lg\left(x^{2}-4x-1\right) = \lg\left(2^2\right)$$ $$\lg\left(x^{2}-4x-1\right) = \lg 4$$ Так как основания логарифмов равны, приравняем выражения под их знаками: $$x^2 - 4x - 1 = 4$$ $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ По теореме Виета: $$x_1 = 5, \quad x_2 = -1$$ Проверим найденные значения с учетом ОДЗ: * При $x = -1$: условие $x > 0$ не выполняется (аргументы $8x$ и $4x$ отрицательны), поэтому $x = -1$ — посторонний корень. * При $x = 5$: $x > 0$ и $x^2 - 4x - 1 = 5^2 - 4 \cdot 5 - 1 = 4 > 0$ — условия ОДЗ выполняются. Ответ: $x = 5$.