ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 265

1) $3^{|x-2|} < 9$ Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $3$: $$ 3^{|x-2|} < 3^2 $$ Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому переходим к неравенству для показателей с сохранением знака неравенства: $$ |x-2| < 2 $$ Неравенство вида $|f(x)| < a$ при $a > 0$ равносильно двойному неравенству: $$ -2 < x - 2 < 2 $$ Прибавим $2$ ко всем частям неравенства: $$ -2 + 2 < x < 2 + 2 $$ $$ 0 < x < 4 $$ Ответ: $x \in (0; 4)$. --- 2) $4^{|x+1|} > 16$ Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $4$: $$ 4^{|x+1|} > 4^2 $$ Так как основание степени $4 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ |x+1| > 2 $$ Неравенство вида $|f(x)| > a$ равносильно совокупности неравенств: $$ \left[\begin{aligned} x + 1 &> 2 \\ x + 1 &< -2 \end{aligned}\right. $$ Решим каждое неравенство совокупности: $$ \left[\begin{aligned} x &> 2 - 1 \\ x &< -2 - 1 \end{aligned}\right. $$ $$ \left[\begin{aligned} x &> 1 \\ x &< -3 \end{aligned}\right. $$ Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$. --- 3) $2^{|x-2|} > 4^{|x+1|}$ Приведем обе части неравенства к основанию $2$: $$ 2^{|x-2|} > (2^2)^{|x+1|} $$ $$ 2^{|x-2|} > 2^{2|x+1|} $$ Так как основание степени $2 > 1$, получаем: $$ |x-2| > 2|x+1| $$ Внесем множитель $2$ под знак модуля в правой части: $$ |x-2| > |2x+2| $$ Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ (x-2)^2 > (2x+2)^2 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулу разности квадратов: $$ (x-2)^2 - (2x+2)^2 > 0 $$ $$ ((x-2) - (2x+2))((x-2) + (2x+2)) > 0 $$ $$ (x - 2 - 2x - 2)(x - 2 + 2x + 2) > 0 $$ $$ (-x - 4)(3x) > 0 $$ $$ -(x + 4) \cdot 3x > 0 $$ Разделим обе части неравенства на $-3$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x(x + 4) < 0 $$ Применим метод интервалов. Корни уравнения $x(x + 4) = 0$: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$. Значения выражения отрицательны на интервале между корнями: $$ -4 < x < 0 $$ Ответ: $x \in (-4; 0)$. --- 4) $5^{|x+4|} < 25^{|x|}$ Приведем степени к общему основанию $5$: $$ 5^{|x+4|} < (5^2)^{|x|} $$ $$ 5^{|x+4|} < 5^{2|x|} $$ Так как основание степени $5 > 1$, получаем: $$ |x+4| < 2|x| $$ $$ |x+4| < |2x| $$ Так как обе части неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ (x+4)^2 < (2x)^2 $$ Перенесем правую часть влево и разложим на множители по формуле разности квадратов: $$ (x+4)^2 - (2x)^2 < 0 $$ $$ ((x+4) - 2x)((x+4) + 2x) < 0 $$ $$ (4 - x)(3x + 4) < 0 $$ Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $$ (x - 4)(3x + 4) > 0 $$ Корни уравнения $(x - 4)(3x + 4) = 0$: $x_1 = -\frac{4}{3}$, $x_2 = 4$. По методу интервалов решением строгого неравенства со знаком «$>$» является объединение промежутков: $$ x < -\frac{4}{3} \quad \text{или} \quad x > 4 $$ Ответ: $x \in \left(-\infty; -\frac{4}{3}\right) \cup (4; +\infty)$.