ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 260

### 1) $$2^{x+4} + 2^{x+2} = 5^{x+1} + 3 \cdot 5^x$$ Вынесем за скобки степени с наименьшим показателем в левой и правой частях уравнения: $$2^{x+2}(2^2 + 1) = 5^x(5^1 + 3)$$ $$2^{x+2} \cdot (4 + 1) = 5^x \cdot (5 + 3)$$ $$2^{x+2} \cdot 5 = 8 \cdot 5^x$$ Распишем $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$: $$4 \cdot 2^x \cdot 5 = 8 \cdot 5^x$$ $$20 \cdot 2^x = 8 \cdot 5^x$$ Разделим обе части уравнения на $8 \cdot 2^x$ (так как $2^x \neq 0$): $$\frac{20}{8} = \frac{5^x}{2^x}$$ $$\frac{5}{2} = \left(\frac{5}{2}\right)^x$$ $$\left(\frac{5}{2}\right)^1 = \left(\frac{5}{2}\right)^x$$ $$x = 1$$ **Ответ:** $x = 1$ --- ### 2) $$5^{2x} - 7^x - 5^{2x} \cdot 17 + 7^x \cdot 17 = 0$$ Сгруппируем слагаемые: $$(5^{2x} - 5^{2x} \cdot 17) - (7^x - 7^x \cdot 17) = 0$$ Вынесем общие множители за скобки: $$5^{2x}(1 - 17) - 7^x(1 - 17) = 0$$ $$-16 \cdot 5^{2x} + 16 \cdot 7^x = 0$$ Разделим обе части уравнения на $-16$: $$5^{2x} - 7^x = 0$$ $$5^{2x} = 7^x$$ $$(5^2)^x = 7^x$$ $$25^x = 7^x$$ Разделим обе части на $7^x$ (так как $7^x > 0$): $$\left(\frac{25}{7}\right)^x = 1$$ $$\left(\frac{25}{7}\right)^x = \left(\frac{25}{7}\right)^0$$ $$x = 0$$ **Ответ:** $x = 0$ --- ### 3) $$2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2}$$ Перенесем степени с основанием $2$ в левую часть, а с основанием $3$ — в правую часть: $$2^{x^2-1} + 2^{x^2+2} = 3^{x^2} + 3^{x^2-1}$$ Вынесем за скобки степени с наименьшим показателем: $$2^{x^2-1}(1 + 2^3) = 3^{x^2-1}(3^1 + 1)$$ $$2^{x^2-1}(1 + 8) = 3^{x^2-1}(3 + 1)$$ $$9 \cdot 2^{x^2-1} = 4 \cdot 3^{x^2-1}$$ Разделим обе части уравнения на $9 \cdot 3^{x^2-1}$: $$\frac{2^{x^2-1}}{3^{x^2-1}} = \frac{4}{9}$$ $$\left(\frac{2}{3}\right)^{x^2-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$$ Приравняем показатели степеней: $$x^2 - 1 = 2$$ $$x^2 = 3$$ $$x = \pm\sqrt{3}$$ **Ответ:** $x_1 = -\sqrt{3}$, $x_2 = \sqrt{3}$ --- ### 4) $$3 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}$$ Сгруппируем слагаемые с основанием $9$ в левой части уравнения, а с основанием $4$ — в правой: $$\frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} + \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1} = 6 \cdot 4^{x+1} - 3 \cdot 4^x$$ Вынесем за скобки $9^{x+1}$ в левой части и $4^x$ в правой: $$9^{x+1}\left(\frac{1}{3} \cdot 9^1 + \frac{1}{2}\right) = 4^x(6 \cdot 4^1 - 3)$$ $$9^{x+1}\left(3 + \frac{1}{2}\right) = 4^x(24 - 3)$$ $$9^{x+1} \cdot \frac{7}{2} = 4^x \cdot 21$$ Разделим обе части уравнения на $\frac{7}{2}$ (то есть умножим на $\frac{2}{7}$): $$9^{x+1} = 4^x \cdot 21 \cdot \frac{2}{7}$$ $$9^{x+1} = 4^x \cdot 6$$ Преобразуем левую часть, используя свойство степеней $9^{x+1} = 9 \cdot 9^x$: $$9 \cdot 9^x = 6 \cdot 4^x$$ Разделим обе части уравнения на $9 \cdot 4^x$: $$\frac{9^x}{4^x} = \frac{6}{9}$$ $$\left(\frac{9}{4}\right)^x = \frac{2}{3}$$ Приведем обе части к основанию $\frac{3}{2}$: $$\left(\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}$$ $$\left(\frac{3}{2}\right)^{2x} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}$$ Приравняем показатели: $$2x = -1$$ $$x = -0{,}5$$ **Ответ:** $x = -0{,}5$