ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 255

Рассмотрим последовательность значений функции $y = 2^x$ при натуральных значениях аргумента $x = 1, 2, 3, \ldots, n, \ldots$ Обозначим члены этой последовательности через $b_n$, где $n \in \mathbb{N}$: $$ b_n = 2^n $$ Тогда следующий член последовательности имеет вид: $$ b_{n+1} = 2^{n+1} $$ По определению числовая последовательность $(b_n)$, все члены которой отличны от нуля, называется геометрической прогрессией, если отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему является постоянным числом, не зависящим от $n$: $$ \frac{b_{n+1}}{b_n} = q $$ Найдем отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му члену: $$ \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{(n+1) - n} = 2^1 = 2 $$ Так как отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} = 2$ постоянно для любого натурального $n$ и все члены последовательности отличны от нуля ($2^n \neq 0$), данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 2^1 = 2$ и знаменателем $q = 2$. Что и требовалось доказать.