ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 243

### 1) $$ \begin{cases} 5^x - 5^y = 100, \\ 5^{x-1} + 5^{y-1} = 30 \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство степени $a^{m-1} = \frac{a^m}{a}$: $$ \frac{5^x}{5} + \frac{5^y}{5} = 30 $$ Умножим обе части уравнения на $5$: $$ 5^x + 5^y = 150 $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} 5^x - 5^y = 100, \\ 5^x + 5^y = 150 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения: $$ 2 \cdot 5^x = 250 $$ $$ 5^x = 125 $$ $$ 5^x = 5^3 \implies x = 3 $$ Подставим $5^x = 125$ во второе уравнение: $$ 125 + 5^y = 150 $$ $$ 5^y = 25 $$ $$ 5^y = 5^2 \implies y = 2 $$ Ответ: $(3; 2)$. --- ### 2) $$ \begin{cases} 2^x - 9 \cdot 3^y = 7, \\ 2^x \cdot 3^y = \frac{8}{9} \end{cases} $$ Пусть $u = 2^x$ ($u > 0$) и $v = 3^y$ ($v > 0$). Тогда система принимает вид: $$ \begin{cases} u - 9v = 7, \\ u \cdot v = \frac{8}{9} \end{cases} $$ Выразим $u$ из первого уравнения: $u = 7 + 9v$ и подставим во второе уравнение: $$ (7 + 9v)v = \frac{8}{9} $$ Умножим обе части уравнения на $9$: $$ 9v(7 + 9v) = 8 $$ $$ 81v^2 + 63v - 8 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = 63^2 - 4 \cdot 81 \cdot (-8) = 3969 + 2592 = 6561 = 81^2 $$ $$ v_1 = \frac{-63 + 81}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9} $$ $$ v_2 = \frac{-63 - 81}{162} = -\frac{144}{162} = -\frac{8}{9} \quad (\text{не подходит, так как } v > 0) $$ При $v = \frac{1}{9}$ найдем $u$: $$ u = 7 + 9 \cdot \frac{1}{9} = 7 + 1 = 8 $$ Вернемся к переменным $x$ и $y$: $$ 2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3 $$ $$ 3^y = \frac{1}{9} \implies 3^y = 3^{-2} \implies y = -2 $$ Ответ: $(3; -2)$. --- ### 3) $$ \begin{cases} 16^y - 16^x = 24, \\ 16^{x+y} = 256 \end{cases} $$ Так как $16^{x+y} = 16^x \cdot 16^y$, а $256 = 16^2$, перепишем систему: $$ \begin{cases} 16^y - 16^x = 24, \\ 16^x \cdot 16^y = 256 \end{cases} $$ Пусть $u = 16^y$ ($u > 0$) и $v = 16^x$ ($v > 0$). Получаем: $$ \begin{cases} u - v = 24, \\ u \cdot v = 256 \end{cases} $$ Из первого уравнения $u = v + 24$. Подставим во второе: $$ (v + 24)v = 256 $$ $$ v^2 + 24v - 256 = 0 $$ $$ D = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-256) = 576 + 1024 = 1600 = 40^2 $$ $$ v_1 = \frac{-24 + 40}{2} = \frac{16}{2} = 8 $$ $$ v_2 = \frac{-24 - 40}{2} = -32 \quad (\text{не подходит, так как } v > 0) $$ При $v = 8$ получаем $u = 8 + 24 = 32$. Вернемся к переменным $x$ и $y$: $$ 16^x = 8 \implies (2^4)^x = 2^3 \implies 2^{4x} = 2^3 \implies 4x = 3 \implies x = \frac{3}{4} $$ $$ 16^y = 32 \implies (2^4)^y = 2^5 \implies 2^{4y} = 2^5 \implies 4y = 5 \implies y = \frac{5}{4} $$ Ответ: $\left(\frac{3}{4}; \frac{5}{4}\right)$. --- ### 4) $$ \begin{cases} 3^x + 2^{x+y+1} = 5, \\ 3^{x+1} - 2^{x+y} = 1 \end{cases} $$ Используем свойства степеней $2^{x+y+1} = 2 \cdot 2^{x+y}$ и $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$: $$ \begin{cases} 3^x + 2 \cdot 2^{x+y} = 5, \\ 3 \cdot 3^x - 2^{x+y} = 1 \end{cases} $$ Введем замену переменных: пусть $u = 3^x$ ($u > 0$) и $v = 2^{x+y}$ ($v > 0$): $$ \begin{cases} u + 2v = 5, \\ 3u - v = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $v$: $v = 3u - 1$, и подставим в первое: $$ u + 2(3u - 1) = 5 $$ $$ u + 6u - 2 = 5 $$ $$ 7u = 7 \implies u = 1 $$ Тогда: $$ v = 3 \cdot 1 - 1 = 2 $$ Вернемся к исходным переменным: $$ 3^x = 1 \implies 3^x = 3^0 \implies x = 0 $$ $$ 2^{x+y} = 2 \implies 2^{x+y} = 2^1 \implies x + y = 1 $$ Так как $x = 0$, то: $$ 0 + y = 1 \implies y = 1 $$ Ответ: $(0; 1)$. --- ### 5) $$ \begin{cases} 5^{x+1} \cdot 3^y = 75, \\ 3^x \cdot 5^{y-1} = 3 \end{cases} $$ Преобразуем степени с числовыми слагаемыми в показателях: $$ \begin{cases} 5 \cdot 5^x \cdot 3^y = 75, \\ \frac{1}{5} \cdot 3^x \cdot 5^y = 3 \end{cases} $$ Разделим первое уравнение на $5$, а второе умножим на $5$: $$ \begin{cases} 5^x \cdot 3^y = 15, \\ 3^x \cdot 5^y = 15 \end{cases} $$ Перемножим уравнения системы: $$ (5^x \cdot 3^y) \cdot (3^x \cdot 5^y) = 15 \cdot 15 $$ $$ (5 \cdot 3)^x \cdot (5 \cdot 3)^y = 15^2 $$ $$ 15^{x+y} = 15^2 \implies x + y = 2 \quad (1) $$ Разделим первое уравнение на второе: $$ \frac{5^x \cdot 3^y}{3^x \cdot 5^y} = \frac{15}{15} $$ $$ \left(\frac{5}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^y = 1 $$ $$ \left(\frac{5}{3}\right)^{x-y} = \left(\frac{5}{3}\right)^0 \implies x - y = 0 \quad (2) $$ Сложим полученные линейные уравнения $(1)$ и $(2)$: $$ 2x = 2 \implies x = 1 $$ Тогда из уравнения $(2)$: $$ y = x = 1 $$ Ответ: $(1; 1)$. --- ### 6) $$ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 4, \\ 3^y \cdot 2^x = 9 \end{cases} $$ Перемножим первое и второе уравнения: $$ (3^x \cdot 2^y) \cdot (3^y \cdot 2^x) = 4 \cdot 9 $$ $$ (3 \cdot 2)^x \cdot (3 \cdot 2)^y = 36 $$ $$ 6^{x+y} = 6^2 \implies x + y = 2 \quad (1) $$ Разделим первое уравнение на второе: $$ \frac{3^x \cdot 2^y}{3^y \cdot 2^x} = \frac{4}{9} $$ $$ \left(\frac{3}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^y = \left(\frac{2}{3}\right)^2 $$ $$ \left(\frac{3}{2}\right)^{x-y} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \implies x - y = -2 \quad (2) $$ Сложим уравнения $(1)$ и $(2)$: $$ 2x = 0 \implies x = 0 $$ Подставим $x = 0$ в уравнение $(1)$: $$ 0 + y = 2 \implies y = 2 $$ Ответ: $(0; 2)$.