ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 232

**1)** Решим неравенство: $$ 3^{x+2}+3^{x-1}<28 $$ Вынесем общий множитель $3^{x-1}$ за скобки: $$ 3^{x-1}\cdot(3^3+1)<28 $$ $$ 3^{x-1}\cdot(27+1)<28 $$ $$ 3^{x-1}\cdot 28<28 $$ Разделим обе части неравенства на $28$: $$ 3^{x-1}<1 $$ Представим $1$ в виде степени с основанием $3$: $$ 3^{x-1}<3^0 $$ Так как основание степени $3 > 1$, то функция $y=3^t$ возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется: $$ x-1<0 $$ $$ x<1 $$ Ответ: $x<1$ (или $x\in(-\infty; 1)$). --- **2)** Решим неравенство: $$ 2^{x-1}+2^{x+3}>17 $$ Вынесем общий множитель $2^{x-1}$ за скобки: $$ 2^{x-1}\cdot(1+2^4)>17 $$ $$ 2^{x-1}\cdot(1+16)>17 $$ $$ 2^{x-1}\cdot 17>17 $$ Разделим обе части неравенства на $17$: $$ 2^{x-1}>1 $$ Так как $1=2^0$, получаем: $$ 2^{x-1}>2^0 $$ Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ x-1>0 $$ $$ x>1 $$ Ответ: $x>1$ (или $x\in(1; +\infty)$). --- **3)** Решим неравенство: $$ 2^{2x-1}+2^{2x-2}+2^{2x-3}\geqslant 448 $$ Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $2^{2x-3}$: $$ 2^{2x-3}\cdot(2^2+2^1+1)\geqslant 448 $$ $$ 2^{2x-3}\cdot(4+2+1)\geqslant 448 $$ $$ 2^{2x-3}\cdot 7\geqslant 448 $$ Разделим обе части неравенства на $7$: $$ 2^{2x-3}\geqslant 64 $$ Представим число $64$ как степень двойки ($64=2^6$): $$ 2^{2x-3}\geqslant 2^6 $$ Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству показателей: $$ 2x-3\geqslant 6 $$ $$ 2x\geqslant 9 $$ $$ x\geqslant 4{,}5 $$ Ответ: $x\geqslant 4{,}5$ (или $x\in[4{,}5; +\infty)$). --- **4)** Решим неравенство: $$ 5^{3x+1}-5^{3x-3}\leqslant 624 $$ Вынесем за скобки $5^{3x-3}$: $$ 5^{3x-3}\cdot(5^4-1)\leqslant 624 $$ $$ 5^{3x-3}\cdot(625-1)\leqslant 624 $$ $$ 5^{3x-3}\cdot 624\leqslant 624 $$ Разделим обе части неравенства на $624$: $$ 5^{3x-3}\leqslant 1 $$ Так как $1=5^0$, получаем: $$ 5^{3x-3}\leqslant 5^0 $$ Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ 3x-3\leqslant 0 $$ $$ 3x\leqslant 3 $$ $$ x\leqslant 1 $$ Ответ: $x\leqslant 1$ (или $x\in(-\infty; 1]$).