ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 183

### 1) $\sqrt{3 - x} = 2$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ 3 - x = 2^2 $$ $$ 3 - x = 4 $$ $$ x = 3 - 4 $$ $$ x = -1 $$ Проверка: Подставим найденное значение в исходное уравнение: $\sqrt{3 - (-1)} = \sqrt{4} = 2$ — верно ($2 = 2$). Ответ: $x = -1$. --- ### 2) $\sqrt{3x + 1} = 8$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ 3x + 1 = 8^2 $$ $$ 3x + 1 = 64 $$ $$ 3x = 64 - 1 $$ $$ 3x = 63 $$ $$ x = 21 $$ Проверка: $\sqrt{3 \cdot 21 + 1} = \sqrt{63 + 1} = \sqrt{64} = 8$ — верно ($8 = 8$). Ответ: $x = 21$. --- ### 3) $\sqrt{3 - 4x} = 2x$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ 3 - 4x = (2x)^2 $$ $$ 3 - 4x = 4x^2 $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ 4x^2 + 4x - 3 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $$ $$ x_1 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $$ $$ x_2 = \frac{-4 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} $$ Проверка: 1. При $x = \frac{1}{2}$: левая часть: $\sqrt{3 - 4 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} = 1$; правая часть: $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. $1 = 1$ — равенство верно, $x = \frac{1}{2}$ является корнем. 2. При $x = -\frac{3}{2}$: левая часть: $\sqrt{3 - 4 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)} = \sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$; правая часть: $2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -3$. $3 \ne -3$ — равенство ложно, $x = -\frac{3}{2}$ — посторонний корень. Ответ: $x = \frac{1}{2}$. --- ### 4) $\sqrt{5x - 1 + 3x^2} = 3x$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ 5x - 1 + 3x^2 = (3x)^2 $$ $$ 5x - 1 + 3x^2 = 9x^2 $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ 9x^2 - 3x^2 - 5x + 1 = 0 $$ $$ 6x^2 - 5x + 1 = 0 $$ Найдём корни уравнения: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 = 1^2 $$ $$ x_1 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$ $$ x_2 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$ Проверка: 1. При $x = \frac{1}{2}$: левая часть: $\sqrt{5 \cdot \frac{1}{2} - 1 + 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{2} - 1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{10 - 4 + 3}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$; правая часть: $3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. $\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ — верно. 2. При $x = \frac{1}{3}$: левая часть: $\sqrt{5 \cdot \frac{1}{3} - 1 + 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{3} - 1 + \frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{5}{3} - 1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{6}{3} - 1} = \sqrt{2 - 1} = 1$; правая часть: $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$. $1 = 1$ — верно. Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{1}{2}$. --- ### 5) $\sqrt[3]{x^2 - 17} = 2$ Возведём обе части уравнения в куб: $$ x^2 - 17 = 2^3 $$ $$ x^2 - 17 = 8 $$ $$ x^2 = 8 + 17 $$ $$ x^2 = 25 $$ $$ x = \pm 5 $$ Проверка: При $x = 5$: $\sqrt[3]{5^2 - 17} = \sqrt[3]{25 - 17} = \sqrt[3]{8} = 2$ — верно. При $x = -5$: $\sqrt[3]{(-5)^2 - 17} = \sqrt[3]{25 - 17} = \sqrt[3]{8} = 2$ — верно. Ответ: $x_1 = -5$, $x_2 = 5$. --- ### 6) $\sqrt[4]{x^2 + 17} = 3$ Возведём обе части уравнения в четвёртую степень: $$ x^2 + 17 = 3^4 $$ $$ x^2 + 17 = 81 $$ $$ x^2 = 81 - 17 $$ $$ x^2 = 64 $$ $$ x = \pm 8 $$ Проверка: При $x = 8$: $\sqrt[4]{8^2 + 17} = \sqrt[4]{64 + 17} = \sqrt[4]{81} = 3$ — верно. При $x = -8$: $\sqrt[4]{(-8)^2 + 17} = \sqrt[4]{64 + 17} = \sqrt[4]{81} = 3$ — верно. Ответ: $x_1 = -8$, $x_2 = 8$.