ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1622

Дана квадратичная функция: $$ y = 4x^2 - 4ax + a^2 - 2a + 2 $$ Выделим полный квадрат: $$ y = (2x - a)^2 - 2a + 2 $$ Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент равен $4 > 0$. Найдем абсциссу вершины параболы: $$ x_0 = -\frac{b}{2A} = -\frac{-4a}{2 \cdot 4} = \frac{a}{2} $$ Положение вершины относительно отрезка $[0; 2]$ определяет, в какой точке функция принимает наименьшее значение. Рассмотрим три возможных случая. **1. Вершина параболы лежит левее отрезка:** $x_0 < 0$ $$ \frac{a}{2} < 0 \iff a < 0 $$ В этом случае функция возрастает на отрезке $[0; 2]$, поэтому наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, то есть в точке $x = 0$: $$ y_{\text{наим}} = y(0) = 4 \cdot 0^2 - 4a \cdot 0 + a^2 - 2a + 2 = a^2 - 2a + 2 $$ По условию наименьшее значение равно $3$: $$ a^2 - 2a + 2 = 3 $$ $$ a^2 - 2a - 1 = 0 $$ $$ D_1 = (-1)^2 - 1 \cdot (-1) = 1 + 1 = 2 $$ $$ a = 1 \pm \sqrt{2} $$ Так как рассматривается случай $a < 0$: * $a = 1 + \sqrt{2} > 0$ — не удовлетворяет условию $a < 0$; * $a = 1 - \sqrt{2} < 0$ — удовлетворяет условию $a < 0$ (поскольку $\sqrt{2} \approx 1{,}41$). Получаем корень $a = 1 - \sqrt{2}$. **2. Вершина параболы принадлежит отрезку:** $0 \le x_0 \le 2$ $$ 0 \le \frac{a}{2} \le 2 \iff 0 \le a \le 4 $$ В этом случае наименьшее значение функции достигается в вершине параболы при $x = \frac{a}{2}$: $$ y_{\text{наим}} = y\left(\frac{a}{2}\right) = \left(2 \cdot \frac{a}{2} - a\right)^2 - 2a + 2 = -2a + 2 $$ По условию наименьшее значение равно $3$: $$ -2a + 2 = 3 $$ $$ -2a = 1 $$ $$ a = -0{,}5 $$ Число $a = -0{,}5$ не принадлежит промежутку $[0; 4]$, следовательно, в этом случае решений нет. **3. Вершина параболы лежит правее отрезка:** $x_0 > 2$ $$ \frac{a}{2} > 2 \iff a > 4 $$ В этом случае функция убывает на отрезке $[0; 2]$, поэтому наименьшее значение достигается на правом конце отрезка, то есть в точке $x = 2$: $$ y_{\text{наим}} = y(2) = 4 \cdot 2^2 - 4a \cdot 2 + a^2 - 2a + 2 = 16 - 8a + a^2 - 2a + 2 = a^2 - 10a + 18 $$ По условию наименьшее значение равно $3$: $$ a^2 - 10a + 18 = 3 $$ $$ a^2 - 10a + 15 = 0 $$ $$ D_1 = (-5)^2 - 1 \cdot 15 = 25 - 15 = 10 $$ $$ a = 5 \pm \sqrt{10} $$ Так как рассматривается случай $a > 4$: * $a = 5 + \sqrt{10} > 4$ — удовлетворяет условию $a > 4$ (поскольку $\sqrt{10} \approx 3{,}16$, $a \approx 8{,}16$); * $a = 5 - \sqrt{10} \approx 1{,}84 < 4$ — не удовлетворяет условию $a > 4$. Получаем корень $a = 5 + \sqrt{10}$. Ответ: $a = 1 - \sqrt{2}$; $a = 5 + \sqrt{10}$.