ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1611

1) Найдем все значения $a$, при которых неравенство $$ \frac{8x^2 - 4x + 3}{4x^2 - 2x + 1} \leq a $$ выполняется при всех $x \in \mathbb{R}$. Преобразуем знаменатель дроби, выделив полный квадрат: $$ 4x^2 - 2x + 1 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = \left(2x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} $$ Так как $\left(2x - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$ при любых $x$, то знаменатель строго положителен: $$ 4x^2 - 2x + 1 \geq \frac{3}{4} > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R} $$ Умножим обе части исходного неравенства на положительный знаменатель $4x^2 - 2x + 1$: $$ 8x^2 - 4x + 3 \leq a(4x^2 - 2x + 1) $$ $$ 8x^2 - 4x + 3 \leq 4a x^2 - 2a x + a $$ Перенесем все слагаемые в правую часть: $$ (4a - 8)x^2 + (4 - 2a)x + (a - 3) \geq 0 $$ Рассмотрим два случая: 1. Если коэффициент при $x^2$ равен нулю: $$ 4a - 8 = 0 \implies a = 2 $$ Подставим $a = 2$ в неравенство: $$ 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + (2 - 3) \geq 0 \implies -1 \geq 0 $$ Неравенство неверно ни при каких $x$, значит, значение $a = 2$ не подходит. 2. Если $4a - 8 \neq 0$, то выражение в левой части представляет собой квадратный трехчлен. Чтобы неравенство $(4a - 8)x^2 + (4 - 2a)x + (a - 3) \geq 0$ выполнялось при всех действительных значениях $x$, ветви соответствующей параболы должны быть направлены вверх, а дискриминант трехчлена должен быть неположительным: $$ \begin{cases} 4a - 8 > 0, \\ D \leq 0 \end{cases} $$ Решим систему: * Из первого неравенства: $4a > 8 \implies a > 2$. * Найдем дискриминант $D$: $$ D = (4 - 2a)^2 - 4(4a - 8)(a - 3) $$ Вынесем общий множитель: $$ (4 - 2a)^2 = [-2(a - 2)]^2 = 4(a - 2)^2 $$ $$ 4(4a - 8)(a - 3) = 16(a - 2)(a - 3) $$ $$ D = 4(a - 2)^2 - 16(a - 2)(a - 3) = 4(a - 2)\bigl((a - 2) - 4(a - 3)\bigr) $$ $$ D = 4(a - 2)(a - 2 - 4a + 12) = 4(a - 2)(10 - 3a) $$ Требуется, чтобы $D \leq 0$: $$ 4(a - 2)(10 - 3a) \leq 0 $$ Разделим на $-4$ (знак неравенства меняется на противоположный): $$ (a - 2)(3a - 10) \geq 0 $$ Решением этого неравенства являются промежутки: $$ a \leq 2 \quad \text{или} \quad a \geq \frac{10}{3} $$ С учетом условия $a > 2$ получаем: $$ a \geq \frac{10}{3} \quad \left(a \geq 3\frac{1}{3}\right) $$ Ответ к пункту 1: $a \geq 3\frac{1}{3}$. --- 2) Найдем все значения $a$, при которых неравенство $$ \frac{3x^2 - 4x + 8}{9x^2 - 12x + 16} \geq a $$ выполняется при всех $x \in \mathbb{R}$. Исследуем знаменатель дроби, выделив полный квадрат: $$ 9x^2 - 12x + 16 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 + 12 = (3x - 2)^2 + 12 $$ Так как $(3x - 2)^2 \geq 0$ при любых $x$, то: $$ 9x^2 - 12x + 16 \geq 12 > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R} $$ Умножим обе части неравенства на положительный знаменатель $9x^2 - 12x + 16$: $$ 3x^2 - 4x + 8 \geq a(9x^2 - 12x + 16) $$ $$ 3x^2 - 4x + 8 \geq 9a x^2 - 12a x + 16a $$ Перенесем все члены в левую часть: $$ (3 - 9a)x^2 + (12a - 4)x + (8 - 16a) \geq 0 $$ Рассмотрим два случая: 1. Если коэффициент при $x^2$ равен нулю: $$ 3 - 9a = 0 \implies a = \frac{1}{3} $$ Подставим $a = \frac{1}{3}$ в неравенство: $$ 0 \cdot x^2 + \left(12 \cdot \frac{1}{3} - 4\right)x + \left(8 - 16 \cdot \frac{1}{3}\right) \geq 0 $$ $$ 0 \cdot x + \left(8 - \frac{16}{3}\right) \geq 0 \implies \frac{8}{3} \geq 0 $$ Неравенство $\frac{8}{3} \geq 0$ верно при всех действительных значениях $x$. Следовательно, $a = \frac{1}{3}$ входит в ответ. 2. Если $3 - 9a \neq 0$, то левая часть — квадратный трехчлен. Неравенство справедливо при всех $x \in \mathbb{R}$, если: $$ \begin{cases} 3 - 9a > 0, \\ D \leq 0 \end{cases} $$ * Из первого неравенства: $$ 9a < 3 \implies a < \frac{1}{3} $$ * Найдем дискриминант $D$: $$ D = (12a - 4)^2 - 4(3 - 9a)(8 - 16a) $$ Преобразуем множители: $$ 12a - 4 = 4(3a - 1) \implies (12a - 4)^2 = 16(3a - 1)^2 $$ $$ 3 - 9a = -3(3a - 1) $$ Тогда: $$ D = 16(3a - 1)^2 - 4 \cdot (-3(3a - 1)) \cdot (8 - 16a) = 16(3a - 1)^2 + 12(3a - 1)(8 - 16a) $$ Вынесем общий множитель $4(3a - 1)$: $$ D = 4(3a - 1)\bigl(4(3a - 1) + 3(8 - 16a)\bigr) = 4(3a - 1)(12a - 4 + 24 - 48a) $$ $$ D = 4(3a - 1)(20 - 36a) = 4(3a - 1) \cdot (-4)(9a - 5) = -16(3a - 1)(9a - 5) $$ Требуется, чтобы $D \leq 0$: $$ -16(3a - 1)(9a - 5) \leq 0 $$ Разделим на $-16$: $$ (3a - 1)(9a - 5) \geq 0 $$ Корни уравнения: $a = \frac{1}{3}$ и $a = \frac{5}{9}$. Решение неравенства: $$ a \leq \frac{1}{3} \quad \text{или} \quad a \geq \frac{5}{9} $$ Пересекая с условием $a < \frac{1}{3}$, получаем: $$ a < \frac{1}{3} $$ Объединяя случай 1 ($a = \frac{1}{3}$) и случай 2 ($a < \frac{1}{3}$), имеем: $$ a \leq \frac{1}{3} $$ Ответ к пункту 2: $a \leq \frac{1}{3}$.