ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1511

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра (в см), а $h$ — его высота (в см). По условию $2 \leqslant r \leqslant 4$. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $$ S = 2\pi r^2 + 2\pi rh $$ По условию задачи площадь полной поверхности равна $54\pi \text{ см}^2$: $$ 2\pi r^2 + 2\pi rh = 54\pi $$ Разделим обе части равенства на $2\pi$: $$ r^2 + rh = 27 $$ Выразим высоту $h$ через радиус $r$: $$ rh = 27 - r^2 \implies h = \frac{27 - r^2}{r} $$ Объём цилиндра вычисляется по формуле: $$ V = \pi r^2 h $$ Подставим выражение для $h$ в формулу объёма: $$ V(r) = \pi r^2 \cdot \frac{27 - r^2}{r} = \pi r(27 - r^2) = \pi(27r - r^3) $$ Исследуем полученную функцию $V(r)$ на наибольшее значение на отрезке $[2; 4]$. Найдём производную функции $V(r)$ по переменной $r$: $$ V'(r) = (\pi(27r - r^3))' = \pi(27 - 3r^2) = 3\pi(9 - r^2) $$ Найдём критические точки функции, решив уравнение $V'(r) = 0$: $$ 3\pi(9 - r^2) = 0 $$ $$ 9 - r^2 = 0 \implies r = 3 \quad (\text{так как } r > 0) $$ Точка $r = 3$ принадлежит отрезку $[2; 4]$. Определим знаки производной на отрезке $[2; 4]$: - при $r \in [2; 3)$ производная $V'(r) > 0$, значит, функция $V(r)$ возрастает; - при $r \in (3; 4]$ производная $V'(r) < 0$, значит, функция $V(r)$ убывает. Следовательно, $r = 3$ — точка максимума функции на отрезке $[2; 4]$, и в ней функция принимает наибольшее значение: $$ V_{\max} = V(3) = \pi \cdot 3 \cdot (27 - 3^2) = 3\pi \cdot (27 - 9) = 3\pi \cdot 18 = 54\pi \text{ см}^3 $$ Ответ: $54\pi \text{ см}^3$.