ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1475

**1) Исследовать на чётность и нечётность и построить график функции $y = -x^4 + 4x^2 - 5$.** 1. **Область определения:** Функция является многочленом, поэтому она определена при всех действительных значениях переменной: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ Область определения симметрична относительно начала координат. 2. **Исследование на чётность и нечётность:** Обозначим $f(x) = -x^4 + 4x^2 - 5$. Найдем $f(-x)$: $$ f(-x) = -(-x)^4 + 4(-x)^2 - 5 = -x^4 + 4x^2 - 5 = f(x) $$ Так как $f(-x) = f(x)$, функция является **чётной**. Следовательно, её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. 3. **Построение графика:** - **Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = -0^4 + 4 \cdot 0^2 - 5 = -5$. Точка $(0; -5)$. - С осью $Ox$: решим уравнение $-x^4 + 4x^2 - 5 = 0$, то есть $x^4 - 4x^2 + 5 = 0$. Пусть $t = x^2 \ge 0$, тогда $t^2 - 4t + 5 = 0$. Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$. Уравнение не имеет действительных корней, значит, график не пересекает ось $Ox$ и целиком лежит ниже неё. - **Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** Найдем производную: $$ y' = (-x^4 + 4x^2 - 5)' = -4x^3 + 8x = -4x(x^2 - 2) $$ Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $$ -4x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0 \implies x_1 = -\sqrt{2},\quad x_2 = 0,\quad x_3 = \sqrt{2} $$ Определим знаки производной на интервалах: - при $x \in (-\infty; -\sqrt{2})$: $y' > 0$ — функция возрастает; - при $x \in (-\sqrt{2}; 0)$: $y' < 0$ — функция убывает; - при $x \in (0; \sqrt{2})$: $y' > 0$ — функция возрастает; - при $x \in (\sqrt{2}; +\infty)$: $y' < 0$ — функция убывает. Отсюда: - точки максимума: $x = -\sqrt{2}$ и $x = \sqrt{2}$; $$ y_{\max} = y(\pm\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^4 + 4(\sqrt{2})^2 - 5 = -4 + 8 - 5 = -1 $$ Точки максимума графика: $(-\sqrt{2}; -1)$ и $(\sqrt{2}; -1)$ (приближенно $(\pm 1{,}41; -1)$). - точка минимума: $x = 0$; $$ y_{\min} = y(0) = -5 $$ Точка минимума графика: $(0; -5)$. - **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-2$ | $-\sqrt{2} \approx -1{,}4$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $\sqrt{2} \approx 1{,}4$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-5$ | $-1$ | $-2$ | $-5$ | $-2$ | $-1$ | $-5$ | - **Эскиз графика:** График имеет форму буквы «М», направленной ветвями вниз: из $-\infty$ функция поднимается до точки максимума $(-\sqrt{2}; -1)$, опускается к точке минимума $(0; -5)$, поднимается во второй максимум $(\sqrt{2}; -1)$ и затем неограниченно убывает при $x \to +\infty$. --- **2) Исследовать на чётность и нечётность и построить график функции $y = x^3 - 4x$.** 1. **Область определения:** Функция определена на всей числовой прямой: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ Область определения симметрична относительно начала координат. 2. **Исследование на чётность и нечётность:** Обозначим $f(x) = x^3 - 4x$. Найдем $f(-x)$: $$ f(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x) = -f(x) $$ Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является **нечётной**. Следовательно, её график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. 3. **Построение графика:** - **Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$: при $x = 0$, $y = 0$. - С осью $Ox$: $$ x^3 - 4x = 0 \iff x(x^2 - 4) = 0 \iff x(x - 2)(x + 2) = 0 $$ Корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$, $(0; 0)$, $(2; 0)$. - **Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** Найдем производную: $$ y' = (x^3 - 4x)' = 3x^2 - 4 $$ Найдем критические точки: $$ 3x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = \frac{4}{3} \implies x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \pm 1{,}15 $$ Определим знаки производной: - при $x \in \left(-\infty; -\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$: $y' > 0$ — функция возрастает; - при $x \in \left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$: $y' < 0$ — функция убывает; - при $x \in \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}; +\infty\right)$: $y' > 0$ — функция возрастает. Отсюда: - точка максимума: $x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$; $$ y_{\max} = \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3 - 4\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{8}{3\sqrt{3}} + \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{9} \approx 3{,}08 $$ - точка минимума: $x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$; $$ y_{\min} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3 - 4\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{16\sqrt{3}}{9} \approx -3{,}08 $$ - **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx -1{,}15$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}15$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-15$ | $0$ | $\approx 3{,}1$ | $3$ | $0$ | $-3$ | $\approx -3{,}1$ | $0$ | $15$ | - **Эскиз графика:** График представляет собой кубическую параболу: выходит из $-\infty$, пересекает ось $Ox$ в точке $(-2; 0)$, достигает локального максимума в точке $\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}; \frac{16\sqrt{3}}{9}\right)$, пересекает начало координат $(0; 0)$, опускается до локального минимума в точке $\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}; -\frac{16\sqrt{3}}{9}\right)$, пересекает ось $Ox$ в точке $(2; 0)$ и неограниченно возрастает в $+\infty$.