ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1470

1) $y = 2^x + 2^{-x}$ Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля. Найдем $y(-x)$: $$ y(-x) = 2^{-x} + 2^{-(-x)} = 2^{-x} + 2^x = 2^x + 2^{-x} = y(x) $$ Так как $y(-x) = y(x)$ для любого $x \in D(y)$, данная функция является чётной. Ответ: чётная. 2) $y = 3^x - 3^{-x}$ Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля. Найдем $y(-x)$: $$ y(-x) = 3^{-x} - 3^{-(-x)} = 3^{-x} - 3^x = -(3^x - 3^{-x}) = -y(x) $$ Так как $y(-x) = -y(x)$ для любого $x \in D(y)$, данная функция является нечётной. Ответ: нечётная. 3) $y = \ln \frac{3 + x}{3 - x}$ Найдем область определения функции. Под знаком логарифма должно стоять строго положительное число: $$ \frac{3 + x}{3 - x} > 0 $$ Умножим числитель и знаменатель на $-1$: $$ \frac{x + 3}{x - 3} < 0 $$ Решением неравенства является интервал $x \in (-3; 3)$. Область определения $D(y) = (-3; 3)$ симметрична относительно нуля. Для любого $x \in (-3; 3)$ найдем $y(-x)$: $$ y(-x) = \ln \frac{3 + (-x)}{3 - (-x)} = \ln \frac{3 - x}{3 + x} = \ln \left( \frac{3 + x}{3 - x} \right)^{-1} = -\ln \frac{3 + x}{3 - x} = -y(x) $$ Так как $y(-x) = -y(x)$ для любого $x \in D(y)$, данная функция является нечётной. Ответ: нечётная. 4) $y = \left| \ln \frac{5 + x}{5 - x} \right|$ Найдем область определения функции: $$ \frac{5 + x}{5 - x} > 0 \iff \frac{x + 5}{x - 5} < 0 \iff x \in (-5; 5) $$ Область определения $D(y) = (-5; 5)$ симметрична относительно нуля. Для любого $x \in (-5; 5)$ найдем $y(-x)$: $$ y(-x) = \left| \ln \frac{5 + (-x)}{5 - (-x)} \right| = \left| \ln \frac{5 - x}{5 + x} \right| = \left| \ln \left( \frac{5 + x}{5 - x} \right)^{-1} \right| = \left| -\ln \frac{5 + x}{5 - x} \right| $$ Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем: $$ y(-x) = \left| \ln \frac{5 + x}{5 - x} \right| = y(x) $$ Так как $y(-x) = y(x)$ для любого $x \in D(y)$, данная функция является чётной. Ответ: чётная.