ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1449

Пусть искомые числа равны $a$, $b$, $c$ и $d$. По условию задачи: 1) Числа $a, b, c$ образуют геометрическую прогрессию, значит, по её характеристическому свойству: $$ b^2 = ac $$ 2) Числа $b, c, d$ образуют арифметическую прогрессию, значит, по её характеристическому свойству: $$ 2c = b + d $$ 3) Сумма первого и четвёртого чисел равна $16$: $$ a + d = 16 $$ 4) Сумма второго и третьего чисел равна $12$: $$ b + c = 12 $$ Выразим переменные $b$, $d$ и $a$ через $c$: Из уравнения $b + c = 12$: $$ b = 12 - c $$ Подставим выражение для $b$ в свойство арифметической прогрессии: $$ 2c = (12 - c) + d \implies d = 3c - 12 $$ Из условия $a + d = 16$ выразим $a$: $$ a = 16 - d = 16 - (3c - 12) = 28 - 3c $$ Подставим полученные выражения для $a$ и $b$ в характеристическое свойство геометрической прогрессии $b^2 = ac$: $$ (12 - c)^2 = (28 - 3c)c $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ 144 - 24c + c^2 = 28c - 3c^2 $$ $$ 4c^2 - 52c + 144 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $4$: $$ c^2 - 13c + 36 = 0 $$ По теореме Виета найдем корни квадратного уравнения: $$ \begin{cases} c_1 + c_2 = 13 \\ c_1 \cdot c_2 = 36 \end{cases} \implies c_1 = 4, \quad c_2 = 9 $$ Рассмотрим два возможных случая. **Случай 1:** $c = 4$. $$ b = 12 - 4 = 8 $$ $$ d = 3 \cdot 4 - 12 = 0 $$ $$ a = 28 - 3 \cdot 4 = 16 $$ Получаем четверку чисел: $16; 8; 4; 0$. **Случай 2:** $c = 9$. $$ b = 12 - 9 = 3 $$ $$ d = 3 \cdot 9 - 12 = 15 $$ $$ a = 28 - 3 \cdot 9 = 1 $$ Получаем четверку чисел: $1; 3; 9; 15$. Ответ: $16, 8, 4, 0$ или $1, 3, 9, 15$.