ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1430

1) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \sin x + \cos y = 1, \\ \sin^2 x + 2 \sin x \cos y = \frac{3}{4}. \end{cases} $$ Сделаем замену переменных: пусть $u = \sin x$, $v = \cos y$. При этом $|u| \le 1$ и $|v| \le 1$. Получаем алгебраическую систему: $$ \begin{cases} u + v = 1, \\ u^2 + 2uv = \frac{3}{4}. \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $v$: $v = 1 - u$. Подставим полученное выражение во второе уравнение: $u^2 + 2u(1 - u) = \frac{3}{4}$, $u^2 + 2u - 2u^2 - \frac{3}{4} = 0$, $-u^2 + 2u - \frac{3}{4} = 0$. Умножим обе части уравнения на $-4$: $4u^2 - 8u + 3 = 0$. Найдем корни через дискриминант: $D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$, $u = \frac{4 \pm 2}{4}$, $u_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$, $u_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Так как $|\sin x| \le 1$, значение $u_1 = \frac{3}{2} > 1$ не удовлетворяет условию. Значение $u_2 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $|u| \le 1$. Найдем соответствующее значение $v$: $v = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Возвращаемся к исходным переменным: $$ \begin{cases} \sin x = \frac{1}{2}, \\ \cos y = \frac{1}{2}. \end{cases} $$ Решим каждое уравнение: $\sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $\cos y = \frac{1}{2} \implies y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$. --- 2) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \sin x + \sin y = \frac{1}{2}, \\ \cos^2 x + 2 \sin x \sin y + 4 \cos^2 y = 4. \end{cases} $$ Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$. Подставим эти выражения во второе уравнение системы: $(1 - \sin^2 x) + 2 \sin x \sin y + 4(1 - \sin^2 y) = 4$, $1 - \sin^2 x + 2 \sin x \sin y + 4 - 4 \sin^2 y = 4$, $1 - \sin^2 x + 2 \sin x \sin y - 4 \sin^2 y = 0$, $\sin^2 x - 2 \sin x \sin y + 4 \sin^2 y = 1$. Пусть $u = \sin x$, $v = \sin y$, где $|u| \le 1$ и $|v| \le 1$. Система принимает вид: $$ \begin{cases} u + v = \frac{1}{2}, \\ u^2 - 2uv + 4v^2 = 1. \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $u$: $u = \frac{1}{2} - v$. Подставим во второе уравнение: $\left(\frac{1}{2} - v\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2} - v\right)v + 4v^2 = 1$, $\frac{1}{4} - v + v^2 - v + 2v^2 + 4v^2 = 1$, $7v^2 - 2v - \frac{3}{4} = 0$. Умножим обе части уравнения на 4: $28v^2 - 8v - 3 = 0$. Найдем корни через дискриминант: $D_1 = (-4)^2 - 28 \cdot (-3) = 16 + 84 = 100 = 10^2$, $v = \frac{4 \pm 10}{28}$, $v_1 = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$, $v_2 = -\frac{6}{28} = -\frac{3}{14}$. Оба значения удовлетворяют условию $|v| \le 1$. Найдем соответствующие значения $u$: 1) При $v = \frac{1}{2}$: $u = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$. 2) При $v = -\frac{3}{14}$: $u = \frac{1}{2} - \left(-\frac{3}{14}\right) = \frac{7}{14} + \frac{3}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$. Оба значения удовлетворяют условию $|u| \le 1$. Возвращаемся к исходным переменным: Первый случай: $$ \begin{cases} \sin x = 0, \\ \sin y = \frac{1}{2}. \end{cases} $$ Отсюда: $x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $y = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. Второй случай: $$ \begin{cases} \sin x = \frac{5}{7}, \\ \sin y = -\frac{3}{14}. \end{cases} $$ Отсюда: $x = (-1)^k \arcsin\frac{5}{7} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $y = (-1)^{m+1} \arcsin\frac{3}{14} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \pi k, \quad y = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \arcsin\frac{5}{7} + \pi k, \quad y = (-1)^{m+1} \arcsin\frac{3}{14} + \pi m, \quad k, m \in \mathbb{Z}$.