ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1401

1) $2,5^{1-x} > 2,5^{-3x}$ Так как основание степени $2,5 > 1$, показательная функция $y = 2,5^t$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется: $$ 1 - x > -3x $$ Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую: $$ -x + 3x > -1 $$ $$ 2x > -1 $$ $$ x > -0,5 $$ **Ответ:** $x > -0,5$ (или $x \in (-0,5; +\infty)$). --- 2) $0,13^{x-4} \geqslant 0,13^{2-x}$ Так как основание степени $0 < 0,13 < 1$, показательная функция $y = 0,13^t$ является убывающей. Знак неравенства при переходе к показателям меняется на противоположный: $$ x - 4 \leqslant 2 - x $$ Перенесем слагаемые с переменной влево, а числа вправо: $$ x + x \leqslant 2 + 4 $$ $$ 2x \leqslant 6 $$ $$ x \leqslant 3 $$ **Ответ:** $x \leqslant 3$ (или $x \in (-\infty; 3]$). --- 3) $\left(\frac{4}{3}\right)^{2x} \leqslant \left(\frac{3}{4}\right)^{x-1}$ Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $\frac{3}{4} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-1}$, тогда: $$ \left(\frac{3}{4}\right)^{x-1} = \left(\left(\frac{4}{3}\right)^{-1}\right)^{x-1} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-(x-1)} = \left(\frac{4}{3}\right)^{1-x} $$ Получаем неравенство: $$ \left(\frac{4}{3}\right)^{2x} \leqslant \left(\frac{4}{3}\right)^{1-x} $$ Так как основание $\frac{4}{3} > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ 2x \leqslant 1 - x $$ $$ 2x + x \leqslant 1 $$ $$ 3x \leqslant 1 $$ $$ x \leqslant \frac{1}{3} $$ **Ответ:** $x \leqslant \frac{1}{3}$ (или $x \in \left(-\infty; \frac{1}{3}\right]$). --- 4) $3^{-4x} > \sqrt{3}$ Представим корень в правой части в виде степени с основанием $3$: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$. Неравенство принимает вид: $$ 3^{-4x} > 3^{\frac{1}{2}} $$ Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастает, знак неравенства сохраняется: $$ -4x > \frac{1}{2} $$ Разделим обе части неравенства на $-4$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x < \frac{1}{2} : (-4) $$ $$ x < -\frac{1}{8} $$ **Ответ:** $x < -\frac{1}{8}$ (или $x \in \left(-\infty; -0,125\right)$).