ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1380

**1)** $\sin x + \sin 5x = \sin 3x$ Применим к левой части уравнения формулу суммы синусов: $$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $$ Получаем: $$ 2 \sin \frac{x + 5x}{2} \cos \frac{x - 5x}{2} = \sin 3x $$ $$ 2 \sin 3x \cos(-2x) = \sin 3x $$ Так как косинус — чётная функция, то $\cos(-2x) = \cos 2x$: $$ 2 \sin 3x \cos 2x = \sin 3x $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ 2 \sin 3x \cos 2x - \sin 3x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\sin 3x$ за скобки: $$ \sin 3x (2 \cos 2x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin 3x = 0$ $$ 3x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2) $2 \cos 2x - 1 = 0$ $$ \cos 2x = \frac{1}{2} $$ $$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. --- **2)** $\cos 7x - \cos 3x = 3 \sin 5x$ Применим к левой части уравнения формулу разности косинусов: $$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $$ Получаем: $$ -2 \sin \frac{7x + 3x}{2} \sin \frac{7x - 3x}{2} = 3 \sin 5x $$ $$ -2 \sin 5x \sin 2x = 3 \sin 5x $$ Перенесём все слагаемые в одну сторону: $$ 2 \sin 5x \sin 2x + 3 \sin 5x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\sin 5x$ за скобки: $$ \sin 5x (2 \sin 2x + 3) = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: 1) $\sin 5x = 0$ $$ 5x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2) $2 \sin 2x + 3 = 0$ $$ \sin 2x = -\frac{3}{2} $$ Так как $|\sin 2x| \le 1$, а $-\frac{3}{2} < -1$, данное уравнение не имеет действительных корней. **Ответ:** $x = \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}$.