ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 136

1) $y = -x^2$ Функция $y = -x^2$ определена на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ и не является монотонной (возрастает при $x \le 0$ и убывает при $x \ge 0$), поэтому на всей области определения обратной функции не существует. Обратная функция существует на промежутках монотонности. Рассмотрим промежуток $x \ge 0$, на котором функция строго убывает и принимает значения $y \le 0$. Выразим переменную $x$ через $y$: $$ -x^2 = y \implies x^2 = -y \implies x = \sqrt{-y} $$ (перед корнем выбран знак «$+$», так как $x \ge 0$). Поменяв переменные $x$ и $y$ местами, получаем аналитическую запись обратной функции: $$ y = \sqrt{-x} \quad \text{при } x \le 0 $$ *(Если рассматривать промежуток убывания $x \le 0$, где $y \le 0$, то $x = -\sqrt{-y}$, и обратная функция имеет вид $y = -\sqrt{-x}$ при $x \le 0$. В случае дробного показателя из оригинального учебника $y = -x^{\frac{1}{2}}$ обратной является функция $y = x^2$ при $x \le 0$).* Ответ: $y = \sqrt{-x}$ при $x \le 0$ (для $x \ge 0$). --- 2) $y = -x^5$ Функция определена при всех $x \in \mathbb{R}$ и является строго убывающей на всей области определения, следовательно, для неё существует обратная функция на $\mathbb{R}$. Выразим $x$ через $y$: $$ x^5 = -y \implies x = -\sqrt[5]{y} $$ Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $$ y = -\sqrt[5]{x} \quad (\text{или } y = -x^{\frac{1}{5}}) $$ Область определения и область значений: $x \in \mathbb{R}$, $y \in \mathbb{R}$. *(В случае дробного показателя $y = -x^{\frac{3}{5}}$ обратной является функция $y = -x^{\frac{5}{3}}$).* Ответ: $y = -\sqrt[5]{x}$. --- 3) $y = x^2$ Функция $y = x^2$ определена на $\mathbb{R}$ и не монотонна на всей числовой прямой, поэтому обратима только на промежутках монотонности. Рассмотрим промежуток возрастания $x \ge 0$ (область значений $y \ge 0$). Выразим $x$ через $y$: $$ x^2 = y \implies x = \sqrt{y} $$ Поменяв местами переменные $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $$ y = \sqrt{x} \quad \text{при } x \ge 0 $$ *(Если рассматривать промежуток убывания $x \le 0$, то $x = -\sqrt{y}$, и обратная функция имеет вид $y = -\sqrt{x}$ при $x \ge 0$. В случае дробного показателя $y = x^{\frac{3}{2}}$ обратной является функция $y = x^{\frac{2}{3}}$ при $x \ge 0$).* Ответ: $y = \sqrt{x}$ при $x \ge 0$ (для $x \ge 0$). --- 4) $y = -x^3$ Функция определена при всех $x \in \mathbb{R}$ и является строго убывающей на всей числовой прямой, следовательно, она обратима на $\mathbb{R}$. Выразим $x$ через $y$: $$ x^3 = -y \implies x = \sqrt[3]{-y} = -\sqrt[3]{y} $$ Поменяв местами $x$ и $y$, получаем формулу обратной функции: $$ y = -\sqrt[3]{x} \quad (\text{или } y = -x^{\frac{1}{3}}) $$ Область определения и область значений: $x \in \mathbb{R}$, $y \in \mathbb{R}$. *(В случае дробного показателя $y = -x^{\frac{1}{3}}$ обратной является функция $y = -x^3$).* Ответ: $y = -\sqrt[3]{x}$.