ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 12

**1)** Вычислим значение выражения: $$ \sqrt{(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} + \sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{5}} $$ Сначала упростим внутренний корень $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$. Для этого представим подкоренное выражение в виде полного квадрата: $$ 7 - 2\sqrt{10} = 5 - 2\sqrt{5 \cdot 2} + 2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 $$ Тогда: $$ \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{2}| = \sqrt{5} - \sqrt{2} \quad (\text{так как } \sqrt{5} > \sqrt{2}) $$ Подставим полученный результат в исходное выражение: $$ \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}} = \sqrt{2 \cdot (\sqrt{5})^2} = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10} $$ Ответ: $\sqrt{10}$. --- **2)** Вычислим значение выражения: $$ \sqrt{(\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} + \sqrt{7}) \cdot 3} $$ Упростим внутренний корень $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}$. Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности: $$ 16 - 6\sqrt{7} = 9 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + 7 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (3 - \sqrt{7})^2 $$ Тогда: $$ \sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2} = |3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7} \quad (\text{так как } 3 = \sqrt{9} > \sqrt{7}) $$ Подставим результат в исходное выражение: $$ \sqrt{(3 - \sqrt{7} + \sqrt{7}) \cdot 3} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3 $$ Ответ: $3$. --- **3)** Вычислим значение выражения: $$ \sqrt{(\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{15}}) \cdot 2 + 7} $$ Упростим выражения под внутренними корнями: $$ 8 + 2\sqrt{15} = 5 + 2\sqrt{5 \cdot 3} + 3 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 $$ $$ \sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2} = |\sqrt{5} + \sqrt{3}| = \sqrt{5} + \sqrt{3} $$ Аналогично: $$ 8 - 2\sqrt{15} = 5 - 2\sqrt{5 \cdot 3} + 3 = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 $$ $$ \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{3}| = \sqrt{5} - \sqrt{3} \quad (\text{так как } \sqrt{5} > \sqrt{3}) $$ Найдем значение выражения в скобках: $$ (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = \sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{5} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $$ Подставим полученное значение под внешний корень: $$ \sqrt{2\sqrt{3} \cdot 2 + 7} = \sqrt{4\sqrt{3} + 7} = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} $$ Выделим полный квадрат под радикалом: $$ 7 + 4\sqrt{3} = 4 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 + \sqrt{3})^2 $$ Следовательно: $$ \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = |2 + \sqrt{3}| = 2 + \sqrt{3} $$ Ответ: $2 + \sqrt{3}$.