ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1147

При бросании двух игральных костей элементарным исходом является пара чисел $(x; y)$, где $x$ — число очков, выпавших на первой кости, а $y$ — на второй кости ($x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$). Общее количество равновозможных элементарных исходов равно: $$ n = 6 \cdot 6 = 36 $$ По определению, события $A$ и $B$ независимы, если для них выполняется формула (1): $$ P(AB) = P(A) \cdot P(B) $$ **1)** $A$ — на первой кости выпало число 6, $B$ — на второй кости выпало чётное число. * Найдём вероятность события $A$: Событию $A$ благоприятствуют 6 исходов: $(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)$. $$ P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $$ * Найдём вероятность события $B$: Чётные числа на кости — это 2, 4, 6 (3 варианта). Так как на первой кости может выпасть любое из 6 чисел, событию $B$ благоприятствуют $6 \cdot 3 = 18$ исходов: $$ P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} $$ * Найдём вероятность совместного наступления событий $A$ и $B$ (события $AB$): Событию $AB$ соответствуют исходы, у которых на первом месте стоит 6, а на втором — чётное число: $(6; 2), (6; 4), (6; 6)$ — всего 3 исхода. $$ P(AB) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} $$ * Проверим выполнение формулы (1): $$ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12} $$ Так как $P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{12}$, формула (1) выполняется, следовательно, события $A$ и $B$ независимы. --- **2)** $A$ — на первой кости выпало нечётное число, $B$ — на второй кости выпало число, кратное 3. * Найдём вероятность события $A$: Нечётные числа на кости — это 1, 3, 5 (3 варианта). Так как на второй кости может выпасть любое из 6 чисел, событию $A$ благоприятствуют $3 \cdot 6 = 18$ исходов: $$ P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} $$ * Найдём вероятность события $B$: Числа, кратные 3, на игральной кости — это 3 и 6 (2 варианта). На первой кости может выпасть любое из 6 чисел, поэтому событию $B$ благоприятствуют $6 \cdot 2 = 12$ исходов: $$ P(B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} $$ * Найдём вероятность события $AB$: Событию $AB$ благоприятствуют пары, у которых первое число нечётное (1, 3 или 5), а второе кратно 3 (3 или 6): $(1; 3), (1; 6), (3; 3), (3; 6), (5; 3), (5; 6)$ — всего $3 \cdot 2 = 6$ исходов. $$ P(AB) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $$ * Проверим выполнение формулы (1): $$ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $$ Так как $P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6}$, формула (1) выполняется, следовательно, события $A$ и $B$ независимы.