ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1095

Сумма всех чисел $n$-й строки треугольника Паскаля равна $2^n$: $$ C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^n = 2^n $$ Также элементы строки симметричны относительно её середины: $C_n^k = C_n^{n-k}$. 1) Выражение представляет собой сумму всех элементов 7-й строки треугольника Паскаля (при $n = 7$): $$ C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7 = 128 $$ Ответ: $128$. 2) В данной сумме присутствуют все элементы 6-й строки, кроме $C_6^1$: $$ C_6^6 + C_6^5 + C_6^4 + C_6^3 + C_6^2 + C_6^0 = 2^6 - C_6^1 $$ Так как $2^6 = 64$ и $C_6^1 = 6$, получаем: $$ 64 - 6 = 58 $$ Ответ: $58$. 3) В данной сумме присутствуют все элементы 6-й строки, кроме крайних членов $C_6^0$ и $C_6^6$: $$ C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 = 2^6 - C_6^0 - C_6^6 $$ Так как $C_6^0 = 1$ и $C_6^6 = 1$, получаем: $$ 64 - 1 - 1 = 62 $$ Ответ: $62$. 4) В данной сумме присутствуют все элементы 7-й строки, кроме крайних членов $C_7^0$ и $C_7^7$: $$ C_7^6 + C_7^5 + C_7^4 + C_7^3 + C_7^2 + C_7^1 = 2^7 - C_7^0 - C_7^7 $$ Так как $C_7^0 = 1$ и $C_7^7 = 1$, получаем: $$ 128 - 1 - 1 = 126 $$ Ответ: $126$. 5) В 9-й строке треугольника Паскаля содержится $10$ элементов: от $C_9^0$ до $C_9^9$. В силу свойства симметрии: $C_9^0 = C_9^9$, $C_9^1 = C_9^8$, $C_9^2 = C_9^7$, $C_9^3 = C_9^6$, $C_9^4 = C_9^5$. Следовательно, сумма первых пяти элементов составляет ровно половину суммы всех элементов 9-й строки: $$ C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4 = \frac{2^9}{2} = 2^8 = 256 $$ Ответ: $256$. 6) В 11-й строке треугольника Паскаля содержится $12$ элементов: от $C_{11}^0$ до $C_{11}^{11}$. По свойству симметрии элементы попарно равны: $C_{11}^0 = C_{11}^{11}$, $C_{11}^1 = C_{11}^{10}$, $C_{11}^2 = C_{11}^9$, $C_{11}^3 = C_{11}^8$, $C_{11}^4 = C_{11}^7$, $C_{11}^5 = C_{11}^6$. Таким образом, сумма первых шести элементов равна половине суммы всех элементов 11-й строки: $$ C_{11}^5 + C_{11}^4 + C_{11}^3 + C_{11}^2 + C_{11}^1 + C_{11}^0 = \frac{2^{11}}{2} = 2^{10} = 1024 $$ Ответ: $1024$.