ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 1018

### 1) Найдём площадь фигуры, ограниченной параболами $y = 6x^2$, $y = (x - 3)(x - 4)$ и осью $Ox$. 1. **Точки пересечения графиков с осью $Ox$ ($y = 0$):** * Для параболы $y = 6x^2$: $$6x^2 = 0 \implies x = 0$$ * Для параболы $y = (x - 3)(x - 4)$: $$(x - 3)(x - 4) = 0 \implies x = 3 \quad \text{или} \quad x = 4$$ 2. **Точки пересечения парабол между собой:** $$6x^2 = (x - 3)(x - 4)$$ $$6x^2 = x^2 - 7x + 12$$ $$5x^2 + 7x - 12 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения: $$D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 49 + 240 = 289 = 17^2$$ $$x_1 = \frac{-7 + 17}{2 \cdot 5} = 1, \qquad x_2 = \frac{-7 - 17}{10} = -2{,}4$$ При $x = 1$ значение функции $y = 6 \cdot 1^2 = 6 > 0$. 3. **Определение границ фигуры:** Фигура расположена в верхней полуплоскости над осью $Ox$ на отрезке $[0; 3]$: * на отрезке $[0; 1]$ сверху она ограничена параболой $y = 6x^2$; * на отрезке $[1; 3]$ сверху она ограничена параболой $y = x^2 - 7x + 12$; * снизу на всём отрезке $[0; 3]$ фигура ограничена осью $Ox$ ($y = 0$). 4. **Вычисление площади:** Искомая площадь равна сумме двух определенных интегралов: $$S = S_1 + S_2 = \int_{0}^{1} 6x^2 \, dx + \int_{1}^{3} (x^2 - 7x + 12) \, dx$$ Вычислим каждый интеграл: $$S_1 = \int_{0}^{1} 6x^2 \, dx = \left[ 2x^3 \right]_{0}^{1} = 2 \cdot 1^3 - 0 = 2$$ $$S_2 = \int_{1}^{3} (x^2 - 7x + 12) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} + 12x \right]_{1}^{3}$$ $$\left( \frac{3^3}{3} - \frac{7 \cdot 3^2}{2} + 12 \cdot 3 \right) = 9 - 31{,}5 + 36 = 13{,}5 = \frac{27}{2}$$ $$\left( \frac{1^3}{3} - \frac{7 \cdot 1^2}{2} + 12 \cdot 1 \right) = \frac{1}{3} - 3{,}5 + 12 = 8{,}5 + \frac{1}{3} = \frac{17}{2} + \frac{1}{3} = \frac{53}{6}$$ $$S_2 = \frac{27}{2} - \frac{53}{6} = \frac{81 - 53}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$$ Сложим полученные площади: $$S = 2 + 4\frac{2}{3} = 6\frac{2}{3}$$ **Ответ к пункту 1:** $6\frac{2}{3}$ (или $\frac{20}{3}$). --- ### 2) Найдём площадь фигуры, ограниченной параболами $y = 4 - x^2$, $y = (x - 2)^2$ и осью $Ox$. 1. **Точки пересечения графиков с осью $Ox$ ($y = 0$):** * Для параболы $y = 4 - x^2$: $$4 - x^2 = 0 \implies x = -2 \quad \text{или} \quad x = 2$$ * Для параболы $y = (x - 2)^2$: $$(x - 2)^2 = 0 \implies x = 2$$ 2. **Точки пересечения парабол между собой:** $$4 - x^2 = (x - 2)^2$$ $$4 - x^2 = x^2 - 4x + 4$$ $$2x^2 - 4x = 0$$ $$2x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2$$ При $x = 0$ ордината $y = 4$, при $x = 2$ ордината $y = 0$. 3. **Определение границ фигуры:** Фигура ограничена снизу осью $Ox$ ($y = 0$) на отрезке $[-2; 2]$: * на отрезке $[-2; 0]$ сверху фигуру ограничивает парабола $y = 4 - x^2$; * на отрезке $[0; 2]$ сверху фигуру ограничивает парабола $y = (x - 2)^2$. 4. **Вычисление площади:** Площадь фигуры равна сумме площадей двух криволинейных трапеций: $$S = S_1 + S_2 = \int_{-2}^{0} (4 - x^2) \, dx + \int_{0}^{2} (x - 2)^2 \, dx$$ Вычислим каждый интеграл: $$S_1 = \int_{-2}^{0} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{0} = 0 - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) = -\left( -8 + \frac{8}{3} \right) = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$$ $$S_2 = \int_{0}^{2} (x - 2)^2 \, dx = \left[ \frac{(x - 2)^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{(2 - 2)^3}{3} - \frac{(0 - 2)^3}{3} = 0 - \left( -\frac{8}{3} \right) = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$$ Сложим полученные площади: $$S = \frac{16}{3} + \frac{8}{3} = \frac{24}{3} = 8$$ *(Примечание: если под фигурой понимается замкнутая область между самими параболами на промежутке $[0; 2]$, где ось $Ox$ лишь касается вершины одной из них, то её площадь равна $\int_{0}^{2} ((4 - x^2) - (x - 2)^2) \, dx = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$. Однако фигура, границами которой служат все три указанные в условии линии, имеет площадь $8$.)* **Ответ к пункту 2:** $8$ (или $2\frac{2}{3}$).