1. Точка D — середина отрезка FK. Найдите координаты точки D и длину отрезка FK, если F (6; −3; 2), K (4; 1; 4).

1. Координаты середины отрезка $D$ находятся как среднее арифметическое координат концов $F$ и $K$: $x_D = \frac{6+4}{2} = 5$; $y_D = \frac{-3+1}{2} = -1$; $z_D = \frac{2+4}{2} = 3$. Точка $D(5; -1; 3)$. Длина отрезка $FK = \sqrt{(4-6)^2 + (1-(-3))^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{4+16+4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$. 2. Даны $\vec{m}(4; -1; 2)$, $\vec{n}(-2; 1; 0)$. 1) $\vec{a} = -2\vec{m} + 5\vec{n} = -2(4; -1; 2) + 5(-2; 1; 0) = (-8; 2; -4) + (-10; 5; 0) = (-18; 7; -4)$. 2) $\cos \phi = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|} = \frac{4(-2) + (-1)(1) + 2(0)}{\sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{-8 - 1 + 0}{\sqrt{16+1+4} \cdot \sqrt{4+1}} = \frac{-9}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-9}{\sqrt{105}}$. 3. Даны $\vec{a}(1; -2; 3)$, $\vec{c}(7; m; 21)$. 1) Коллинеарны, если координаты пропорциональны: $\frac{7}{1} = \frac{m}{-2} = \frac{21}{3}$. $7 = \frac{m}{-2} = 7$. Значит, $m = -14$. 2) Перпендикулярны, если скалярное произведение равно 0: $1(7) + (-2)(m) + 3(21) = 0 \Rightarrow 7 - 2m + 63 = 0 \Rightarrow 70 = 2m \Rightarrow m = 35$. 4. Уравнение плоскости: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$, где $(A; B; C)$ — вектор нормали (в данном случае $\vec{DM}$). $\vec{DM} = (9 - (-3); 24 - 20; 16 - (-4)) = (12; 4; 20)$. Можно взять нормальный вектор $\vec{n} = (3; 1; 5)$. $3(x + 3) + 1(y - 20) + 5(z + 4) = 0 \Rightarrow 3x + 9 + y - 20 + 5z + 20 = 0 \Rightarrow 3x + y + 5z + 9 = 0$. 5. Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 1. Точка $F$ на $AC$ (диагональ грани $ABCD$), $AF:FC = 3:7 \Rightarrow AF = 0.3AC$. Вектор $\vec{B_1F} = \vec{B_1B} + \vec{BF}$. Так как $\vec{BF} = \vec{BA} + \vec{AF} = \vec{BA} + 0.3\vec{AC} = \vec{BA} + 0.3(\vec{BC} - \vec{BA}) = 0.7\vec{BA} + 0.3\vec{BC}$. Учитывая, что $\vec{BA} = -\vec{AB} = \vec{B_1A_1}$ и $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$, а $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1}$, получаем $\vec{B_1F} = 0.7\vec{B_1A_1} + 0.3\vec{B_1C_1} - \vec{BB_1}$. Для нахождения модуля используем координаты: $B_1(0; 0; 1)$, $A(1; 0; 0)$, $C(0; 1; 0)$. $F = A + 0.3(C-A) = (0.7; 0.3; 0)$. $\vec{B_1F} = (0.7-0; 0.3-0; 0-1) = (0.7; 0.3; -1)$. $|\vec{B_1F}| = \sqrt{0.7^2 + 0.3^2 + (-1)^2} = \sqrt{0.49 + 0.09 + 1} = \sqrt{1.58}$.