Домашняя контрольная работа. 1. Параллельные прямые M P и N Q пересекают плоскость alpha в точках M и N...

Решение задачи 1: а) Так как прямые MP и NQ параллельны, они лежат в одной плоскости (обозначим её $\beta$). Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$ по некоторой прямой $MN$. Точки P и Q лежат по одну сторону от $\alpha$, поэтому прямая $PQ$ лежит в той же плоскости $\beta$. Поскольку $MP \neq NQ$ (8 см и 6 см), прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны плоскости $\alpha$ (точнее, прямая $PQ$ не параллельна $MN$), значит, прямые $PQ$ и $MN$ пересекаются в некоторой точке $E$. Так как $MN$ лежит в плоскости $\alpha$, точка $E$ является точкой пересечения прямой $PQ$ с плоскостью $\alpha$. б) Рассмотрим треугольники $\triangle E N Q$ и $\triangle E M P$. Они подобны по двум углам (угол $E$ общий, $\angle ENQ = \angle EMP$ как соответственные при параллельных $MP$ и $NQ$ и секущей $MN$). Коэффициент подобия $k = \frac{NQ}{MP} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Следовательно, $\frac{EN}{EM} = \frac{3}{4}$. Пусть $EN = x$, тогда $EM = x + MN = x + 4$. $\frac{x}{x+4} = \frac{3}{4}$ $4x = 3(x+4)$ $4x = 3x + 12$ $x = 12$. Ответ: NE = 12 см. Решение задачи 2: Дано: $d \parallel \beta$; $a \parallel b$. $a \cap \alpha = A$, $a \cap \beta = A_1$, $b \cap \alpha = B$, $b \cap \beta = B_1$. Прямые $a$ и $b$ параллельны, значит, они задают плоскость $\gamma$. Пересечение плоскостей $\alpha$ и $\beta$ есть некоторая прямая $p$. Так как $a \parallel b$, то прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$, значит, $a \parallel A_1B_1$. Также $a \parallel b$, следовательно, четырехугольник $ABB_1A_1$ (или $AA_1B_1B$) является параллелограммом, так как у него противоположные стороны параллельны (стороны лежат на параллельных прямых $a$ и $b$). В параллелограмме противолежащие стороны равны, значит, $AB = A_1B_1$. Решение задачи 3: В тетраэдре SHED точки A и B — середины ребер SD и DE соответственно. Рассмотрим треугольник SDE. В нем отрезок AB соединяет середины сторон SD и DE. Следовательно, AB является средней линией треугольника SDE. По свойству средней линии, AB параллельна третьей стороне — ES (отрезку SE). По признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая (ES) параллельна прямой (AB), лежащей в плоскости (ABH), то прямая (ES) параллельна плоскости (ABH). Что и требовалось доказать.