6. Постройте график функции y = x|x| - |x| - 3x и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Для построения графика функции $y = x|x| - |x| - 3x$ раскроем модуль: 1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, тогда $y = x^2 - x - 3x = x^2 - 4x$. Это парабола, ветви вверх, вершина в точке $x_0 = -b/2a = 4/2 = 2$, $y_0 = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. Точка (0, 0). 2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, тогда $y = x(-x) - (-x) - 3x = -x^2 + x - 3x = -x^2 - 2x$. Это парабола, ветви вниз, вершина в точке $x_0 = -(-2)/(2(-1)) = -1$, $y_0 = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$. Точка (0, 0). График состоит из двух частей парабол, соединенных в начале координат. Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Чтобы она имела ровно две общие точки с графиком, значение $m$ должно попадать в промежутки, где график "раздваивается" по горизонтали. - Максимум левой ветви (при $x < 0$) достигается в точке $(-1, 1)$, значит при $m = 1$ есть точка пересечения, а чуть ниже $m < 1$ будет две точки. - Минимум правой ветви (при $x > 0$) достигается в точке $(2, -4)$, значит при $m = -4$ есть точка пересечения, а чуть выше $m > -4$ будет две точки. При $m = 1$ прямая пересекает график в двух точках (вершина левой ветви и пересечение с правой ветвью). При $m = -4$ прямая пересекает график в двух точках (вершина правой ветви и пересечение с левой ветвью). Для $m \in (-4, 1)$ прямая пересекает обе ветви, то есть имеет 2 точки. Таким образом, прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m \in [-4, 1]$. :::@chart-1::: **Ответ:** $m \in [-4, 1]$.