На рисунке 47 (с. 23) найдите углы 1, 2, 3, 4, если:

Дано: Две пересекающиеся прямые (Рис. 47). Углы 1 и 3, 2 и 4 — вертикальные; углы 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1 — смежные. Найти: $\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4$. Решение: Используем свойства вертикальных ($\\angle 1 = \\angle 3, \\angle 2 = \\angle 4$) и смежных ($180^\\circ$) углов. а) $\angle 2 + \angle 4 = 220^\circ$ Так как $\angle 2 = \angle 4$, то $2 \cdot \angle 2 = 220^\circ \Rightarrow \angle 2 = 110^\circ$. Тогда $\angle 4 = 110^\circ$. $\angle 1 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. $\angle 3 = 70^\circ$. Ответ: $70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ$. б) $\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4$ Так как $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$, то $2 \cdot \angle 1 = 2 \cdot \angle 2$, откуда $\angle 1 = \angle 2$. Так как $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$, то $\angle 1 = 180^\circ / 2 = 90^\circ$. Следовательно, все углы равны $90^\circ$. Ответ: $90^\circ, 90^\circ, 90^\circ, 90^\circ$. в) $\angle 2 - \angle 1 = 30^\circ$ Составим систему: $\begin{cases} \angle 2 - \angle 1 = 30^\circ \\ \angle 2 + \angle 1 = 180^\circ \end{cases}$ Складываем уравнения: $2 \cdot \angle 2 = 210^\circ \Rightarrow \angle 2 = 105^\circ$. $\angle 4 = 105^\circ$. $\angle 1 = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$. $\angle 3 = 75^\circ$. Ответ: $75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ$.