Отрезок в 36 см разделён на четыре не равные друг другу части.

82. Пусть отрезки равны $x_1, x_2, x_3, x_4$. Сумма $x_1+x_2+x_3+x_4 = 36$. Расстояние между серединами крайних частей — это $\frac{x_1}{2} + x_2 + x_3 + \frac{x_4}{2} = 30$. Расстояние между серединами средних частей — это $\frac{x_2}{2} + x_3 + \frac{x_3}{2} = \frac{x_2}{2} + x_3 + \frac{x_3}{2} = \frac{x_2+x_3}{2} + x_3$ (здесь опечатка в условии задачи, вероятно, имелось в виду $\frac{x_2}{2} + x_3 + \frac{x_3}{2}$ - это $\frac{x_2}{2} + x_3 + \dots$, но обычно решается так: вычитаем из первого уравнения второе: $\frac{x_1}{2} + \frac{x_4}{2} = 6$, значит $x_1 + x_4 = 12$. Тогда $x_2 + x_3 = 36 - 12 = 24$. Расстояние между серединами средних частей: $\frac{x_2}{2} + x_3 + \frac{x_3}{2}$ (это не совсем корректно). Вернее: $\frac{x_2}{2} + x_3$ — это расстояние от середины $x_2$ до середины $x_3$. Если отрезок $x_2+x_3 = 24$, то расстояние между серединами $x_2$ и $x_3$ равно $\frac{x_2}{2} + \frac{x_3}{2} = \frac{x_2+x_3}{2} = 12$ см. 83. Пусть точка $O$ — начало отсчета. Точки $A, B, C$ на одной прямой. $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $AC$. Тогда $M = \frac{A+B}{2}$, $N = \frac{A+C}{2}$. Расстояние $MN = |N - M| = |\frac{A+C}{2} - \frac{A+B}{2}| = |\frac{C-B}{2}| = \frac{BC}{2}$. По условию $MN = 10$, значит $10 = \frac{BC}{2}$, откуда $BC = 20$. Доказано. 84. Возможны два случая расположения луча $OC$ относительно $OA$ и $OB$: 1) $OC$ лежит внутри угла $AOB$: $\angle AOC = \angle AOB - \angle BOC = 35^\circ - 50^\circ = -15^\circ$ (невозможно, так как углы положительны). 2) $OC$ лежит вне угла $AOB$: $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 35^\circ + 50^\circ = 85^\circ$. 85. Углы $hk$ и $km$ смежные, значит их сумма $180^\circ$. $\angle km = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. 86. Пусть углы $x$ и $y$. 1) $x+y=180$, $x-y=35$. Сложим: $2x=215$, $x=107,5^\circ$. $y=180-107,5=72,5^\circ$. 2) $x+y=180$, $x=y+45$. Тогда $y+45+y=180 \Rightarrow 2y=135 \Rightarrow y=67,5^\circ$. $x=67,5+45=112,5^\circ$. 87. Смежные углы в сумме дают $180^\circ$. Пусть один $x$, тогда другой $x-45^\circ$ (условие «один на 45 больше другого» значит $x = (x-45) + 45$). Сумма $x + (x-45) = 180 \Rightarrow 2x = 225 \Rightarrow x=112,5^\circ$. Второй угол: $112,5 - 45 = 67,5^\circ$. Второй случай (разность $35^\circ$): $x + x - 35 = 180 \Rightarrow 2x=215 \Rightarrow x=107,5^\circ$. Второй угол: $72,5^\circ$. 88. Биссектрисы вертикальных углов образуют развернутый угол, то есть лежат на одной прямой. 89. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, так как сумма половинок углов равна $(180^\circ)/2 = 90^\circ$.