12.24. Найдите значение выражения: 1) √3(√10 - 3) · √6(19 + 6√10); 2) √(4 + 2√2) · √4(6 - 4√2).

Для решения задач на упрощение выражений с радикалами используем формулы сокращенного умножения и свойства корней. **12.24** 1) $\sqrt[3]{\sqrt{10}-3} \cdot \sqrt[6]{19+6\sqrt{10}}$ Приведем к общему показателю корня 6: $\sqrt[6]{(\sqrt{10}-3)^2} \cdot \sqrt[6]{19+6\sqrt{10}} = \sqrt[6]{(10 - 6\sqrt{10} + 9)(19+6\sqrt{10})} = \sqrt[6]{(19-6\sqrt{10})(19+6\sqrt{10})} = \sqrt[6]{19^2 - (6\sqrt{10})^2} = \sqrt[6]{361 - 360} = \sqrt[6]{1} = 1$. 2) $\sqrt{4+2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt{2}}$ Приведем к общему показателю корня 4: $\sqrt[4]{(4+2\sqrt{2})^2} \cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt{2}} = \sqrt[4]{(16 + 16\sqrt{2} + 8)(6-4\sqrt{2})} = \sqrt[4]{(24+16\sqrt{2})(6-4\sqrt{2})} = \sqrt[4]{8(3+2\sqrt{2}) \cdot 2(3-2\sqrt{2})} = \sqrt[4]{16(9 - 8)} = \sqrt[4]{16} = 2$. **12.25** 1) $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$ Приведем к общему показателю корня 6: $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[6]{(2+\sqrt{3})^2} = \sqrt[6]{(7-4\sqrt{3})(4+4\sqrt{3}+3)} = \sqrt[6]{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})} = \sqrt[6]{49 - 16 \cdot 3} = \sqrt[6]{49-48} = \sqrt[6]{1} = 1$. 2) $\sqrt{2\sqrt{6}-1} \cdot \sqrt[4]{25+4\sqrt{6}}$ Приведем к общему показателю корня 4: $\sqrt[4]{(2\sqrt{6}-1)^2} \cdot \sqrt[4]{25+4\sqrt{6}} = \sqrt[4]{(24 - 4\sqrt{6} + 1)(25+4\sqrt{6})} = \sqrt[4]{(25-4\sqrt{6})(25+4\sqrt{6})} = \sqrt[4]{25^2 - (4\sqrt{6})^2} = \sqrt[4]{625 - 96} = \sqrt[4]{529} = \sqrt{23}$.