Задания для закрепления по теме «Биквадратные уравнения» №1 Способом введения новой переменной решите биквадратные уравнения:

Для решения биквадратных уравнений введем новую переменную: пусть $x^2 = t$, где $t \ge 0$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения $at^2 + bt + c = 0$. a) $x^4 - 12x^2 + 27 = 0$ Пусть $x^2 = t$. $t^2 - 12t + 27 = 0$ По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 12$, $t_1 \cdot t_2 = 27$. Корни: $t_1 = 9$, $t_2 = 3$. Возвращаемся к переменной $x$: 1) $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ 2) $x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$ Ответ: $\pm 3, \pm \sqrt{3}$. b) $x^4 - 18x^2 + 32 = 0$ Пусть $x^2 = t$. $t^2 - 18t + 32 = 0$ Дискриминант: $D = 18^2 - 4 \cdot 32 = 324 - 128 = 196 = 14^2$. $t_1 = (18 + 14) / 2 = 16$; $t_2 = (18 - 14) / 2 = 2$. Возвращаемся к переменной $x$: 1) $x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$ 2) $x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$ Ответ: $\pm 4, \pm \sqrt{2}$. c) $x^4 + 24x^2 - 25 = 0$ Пусть $x^2 = t$. $t^2 + 24t - 25 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = -25$. Так как $t = x^2 \ge 0$, то корень $t_2 = -25$ не подходит. Возвращаемся к переменной $x$: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ Ответ: $\pm 1$. d) $x^4 + x^2 - 20 = 0$ Пусть $x^2 = t$. $t^2 + t - 20 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 4$, $t_2 = -5$ (не подходит, так как $t \ge 0$). Возвращаемся к переменной $x$: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ Ответ: $\pm 2$.