1.Найдите координаты вектора CD , если C(6; -2), D(2; 4; -5).

1. Координаты вектора $\vec{CD}$ находятся как разность соответствующих координат точек $D$ и $C$: $\vec{CD} = (2 - 6; 4 - 3; -5 - (-2)) = (-4; 1; -3)$. 2. Координаты вектора $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ находятся как разность координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{c} = (1 - (-1); -3 - 2; -1 - 0) = (2; -5; -1)$. 3. Вычислим координаты вектора $\vec{p} = -\frac{1}{2}\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}$: $-\frac{1}{2}\vec{a} = (-\frac{1}{2} \cdot 2; -\frac{1}{2} \cdot 4; -\frac{1}{2} \cdot (-6)) = (-1; -2; 3)$. $2\vec{b} = (2 \cdot (-3); 2 \cdot 1; 2 \cdot 0) = (-6; 2; 0)$. $\vec{c} = (3; 0; -1)$. $\vec{p} = (-1 - 6 - 3; -2 + 2 - 0; 3 + 0 - (-1)) = (-10; 0; 4)$. 4. Векторы $\vec{a}\{-4; m; 2\}$ и $\vec{b}\{2; -6; n\}$ коллинеарны, если их координаты пропорциональны: $\frac{-4}{2} = \frac{m}{-6} = \frac{2}{n}$. $-2 = \frac{m}{-6} \Rightarrow m = 12$. $-2 = \frac{2}{n} \Rightarrow n = -1$. 5. Сначала найдем вектор $\vec{k} = \vec{a} - 2\vec{b} = (5; -1; 2) - 2 \cdot (3; 2; -4) = (5 - 6; -1 - 4; 2 - (-8)) = (-1; -5; 10)$. Длина вектора $|\vec{k}| = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2 + 10^2} = \sqrt{1 + 25 + 100} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$. 6. Скалярное произведение векторов $\vec{a} = 5\vec{i} - 2\vec{j} + 4\vec{k}$ и $\vec{b} = 3\vec{j} + 2\vec{k}$ (координаты $\vec{a}(5; -2; 4)$ и $\vec{b}(0; 3; 2)$): $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 0 + (-2) \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 0 - 6 + 8 = 2$. 7. Вектор $\vec{AB} = (8 - 6; -2 - (-4); 4 - 8) = (2; 2; -4)$. Вектор $\vec{CD} = (14 - 12; -6 - (-6); 2 - 4) = (2; 0; -2)$. Косинус угла $\cos \phi = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CD}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} = \frac{|2 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + (-4) \cdot (-2)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2}} = \frac{|4 + 0 + 8|}{\sqrt{4+4+16} \cdot \sqrt{4+0+4}} = \frac{12}{\sqrt{24} \cdot \sqrt{8}} = \frac{12}{\sqrt{192}} = \frac{12}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол $\phi = 30^\circ$. 8. Пусть ребро куба равно 1. Введем систему координат: $A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), A_1(0;0;1), C_1(1;1;1), D_1(0;1;1)$. Вектор $\vec{AC} = (1; 1; 0)$. Вектор $\vec{DC_1} = (1 - 0; 1 - 1; 1 - 0) = (1; 0; 1)$. $\cos \phi = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{DC_1}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{DC_1}|} = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$. Угол $\phi = 60^\circ$.