Стереометрия 10 класс. Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей.

Решение задач из таблицы 10.4: 1. Дано: K не в плоскости параллелограмма ABCD. Пары параллельных прямой и плоскости: - Прямая AB параллельна плоскости KCD (так как AB || CD, а CD лежит в KCD). - Прямая BC параллельна плоскости KAD (так как BC || AD, а AD лежит в KAD). - Прямая CD параллельна плоскости KAB (так как CD || AB, а AB лежит в KAB). - Прямая AD параллельна плоскости KBC (так как AD || BC, а BC лежит в KBC). 2. Дано: K не в плоскости трапеции ABCD. Доказать: CD || AKB. Доказательство: В трапеции ABCD по определению CD || AB. Так как AB лежит в плоскости AKB, то по признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая вне плоскости параллельна прямой внутри плоскости, то она параллельна самой плоскости. Значит, CD || AKB. 3. Дано: α ∩ β = c, a ⊂ α, b ⊂ β, a || b. Доказать: a || c и b || c. Доказательство: Прямая a параллельна b. Прямая b лежит в плоскости β, значит a || β. Так как a лежит в плоскости α, которая пересекается с β по прямой c, то по теореме о пересечении плоскостей, прямая a должна быть параллельна линии пересечения плоскостей, т.е. a || c. Аналогично для b || c. 4. Дано: α ∩ β = a, b || α, b || β. Доказать: b || a. Доказательство: Прямая b параллельна плоскости α, значит она параллельна любой прямой в α, параллельной ей. Но проще: если b параллельна плоскости α и b параллельна плоскости β, то b параллельна линии пересечения этих плоскостей, то есть b || a. 5. Дано: b ∩ α = M, a || b. Доказать: a пересекает α. Доказательство: Если a || b и b пересекает плоскость в точке M, то через a и b можно провести плоскость β. Эта плоскость пересекает α по прямой, проходящей через M и параллельной b. Прямая a также лежит в этой плоскости и параллельна b, значит, a будет пересекать плоскость α. 6. Дано: a || α, a || b, M ∈ α и M ∈ b. Доказать: b ⊂ α. Доказательство: Если a || α, то любая плоскость, содержащая a, пересекает α по прямой, параллельной a. Проведем плоскость через a и b. Она пересечет α по некоторой прямой l, проходящей через M и параллельной a. Так как b || a и b проходит через M, то b совпадает с l. Значит, b ⊂ α. 7. Дано: α ∩ AB = B1, α ∩ AC = C1, B1C1 || BC, AC1 : C1C = 3:4. Найти BC (видимо, B1C1, так как BC — это сторона, а 6 — длина B1C1). Решение: Треугольник AB1C1 подобен треугольнику ABC по двум углам (угол A общий, ∠AB1C1 = ∠ABC как соответственные при B1C1 || BC). Отношение AC1 к AC равно AC1 / (AC1 + C1C) = 3 / (3 + 4) = 3/7. Значит, коэффициент подобия k = 3/7. Тогда B1C1 / BC = 3/7. Если B1C1 = 6, то 6 / BC = 3/7. BC = (6 * 7) / 3 = 14. Ответ: BC = 14.