Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Для решения задач на поиск высоты $h$ в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$, используем формулу площади: $S = \frac{1}{2}ab$ и $S = \frac{1}{2}ch$, где $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Отсюда $h = \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Для задач 1-5: 1. Катеты 18 и 24. Гипотенуза $c = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$. Высота $h = (18 \cdot 24) / 30 = 432 / 30 = 14,4$. 2. Катеты 21 и 28. Гипотенуза $c = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35$. Высота $h = (21 \cdot 28) / 35 = 588 / 35 = 16,8$. 3. Катеты 15 и 20. Гипотенуза $c = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$. Высота $h = (15 \cdot 20) / 25 = 300 / 25 = 12$. 4. Катеты 15 и 36. Гипотенуза $c = \sqrt{15^2 + 36^2} = \sqrt{225 + 1296} = \sqrt{1521} = 39$. Высота $h = (15 \cdot 36) / 39 = 540 / 39 = 180 / 13 \approx 13,85$. 5. Катеты 10 и 24. Гипотенуза $c = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$. Высота $h = (10 \cdot 24) / 26 = 240 / 26 = 120 / 13 \approx 9,23$. Для задач 6-10 (даны катет $a$ и гипотенуза $c$): $b = \sqrt{c^2 - a^2}$, высота $h = \frac{ab}{c}$. 6. $a=24, c=51$. $b = \sqrt{51^2 - 24^2} = \sqrt{2601 - 576} = \sqrt{2025} = 45$. Высота $h = (24 \cdot 45) / 51 = 1080 / 51 = 360 / 17 \approx 21,18$. 7. $a=16, c=34$. $b = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{1156 - 256} = \sqrt{900} = 30$. Высота $h = (16 \cdot 30) / 34 = 480 / 34 = 240 / 17 \approx 14,12$. 8. $a=20, c=52$. $b = \sqrt{52^2 - 20^2} = \sqrt{2704 - 400} = \sqrt{2304} = 48$. Высота $h = (20 \cdot 48) / 52 = 960 / 52 = 240 / 13 \approx 18,46$. 9. $a=21, c=75$. $b = \sqrt{75^2 - 21^2} = \sqrt{5625 - 441} = \sqrt{5184} = 72$. Высота $h = (21 \cdot 72) / 75 = 1512 / 75 = 20,16$. 10. $a=35, c=125$. $b = \sqrt{125^2 - 35^2} = \sqrt{15625 - 1225} = \sqrt{14400} = 120$. Высота $h = (35 \cdot 120) / 125 = 4200 / 125 = 33,6$. Для задач 11-14: По теореме синусов $BC / \sin(A) = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности. Угол $A = 180^{\circ} - (B + C)$. $BC = 2R \cdot \sin(A)$. 11. $A = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 85^{\circ}) = 30^{\circ}$. $BC = 2 \cdot 14 \cdot \sin(30^{\circ}) = 28 \cdot 0,5 = 14$. 12. $A = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 78^{\circ}) = 30^{\circ}$. $BC = 2 \cdot 17 \cdot \sin(30^{\circ}) = 34 \cdot 0,5 = 17$. 13. $A = 180^{\circ} - (71^{\circ} + 79^{\circ}) = 30^{\circ}$. $BC = 2 \cdot 8 \cdot \sin(30^{\circ}) = 16 \cdot 0,5 = 8$. 14. $A = 180^{\circ} - (67^{\circ} + 83^{\circ}) = 30^{\circ}$. $BC = 2 \cdot 16 \cdot \sin(30^{\circ}) = 32 \cdot 0,5 = 16$.