1. В треугольнике АВС известно, что АВ = 5, ВС = 7, cos∠B = 13/14. Найдите АС.

1. Используем теорему косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B$. Подставим значения: $AC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{13}{14} = 25 + 49 - 70 \cdot \frac{13}{14} = 74 - 5 \cdot 13 = 74 - 65 = 9$. Значит, $AC = \sqrt{9} = 3$. 2. Используем теорему косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$. Подставим значения: $BC^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ = 16 + 12 - 16\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 28 - 8 \cdot 3 = 28 - 24 = 4$. Значит, $BC = \sqrt{4} = 2$. 3. Используем теорему косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B$. $12^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos \angle B$. $144 = 64 + 100 - 160 \cdot \cos \angle B$. $144 = 164 - 160 \cdot \cos \angle B$. $160 \cdot \cos \angle B = 164 - 144 = 20$. $\cos \angle B = \frac{20}{160} = \frac{1}{8} = 0,125$. 4. Из формулы $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha$ выразим $\cos \alpha$: $\cos \alpha = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. Подставим значения: $\cos \alpha = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{4 + 9 - 16}{12} = \frac{-3}{12} = -0,25$. 5. Наибольший угол лежит против наибольшей стороны. Стороны: $AB=8, BC=12, AC=10$. Наибольшая сторона $BC=12$, значит, наибольший угол — $\angle A$. По теореме косинусов для $\angle A$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A$. $144 = 64 + 100 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos \angle A$. $144 = 164 - 160 \cdot \cos \angle A$. $160 \cdot \cos \angle A = 20$. $\cos \angle A = \frac{20}{160} = 0,125$. 6. По теореме косинусов для $\angle B=60^\circ$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60^\circ$. Пусть $AB = x$. $7^2 = x^2 + 3^2 - 2 \cdot x \cdot 3 \cdot 0,5$. $49 = x^2 + 9 - 3x$. $x^2 - 3x - 40 = 0$. Решим квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$. $x_1 = \frac{3 + 13}{2} = 8$, $x_2 = \frac{3 - 13}{2} = -5$ (не подходит). Ответ: $AB = 8$.