11.59. ( (a + ^3√a^2b) : (b + ^3√ab^2) - 1 / ^3√a - ^3√b )^3 .

### Решение 11.59 Выражение: $\left( \frac{(a + \sqrt[3]{a^2b}) : (b + \sqrt[3]{ab^2}) - 1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^3$ 1. Упростим делимое в скобках: $a + \sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab})$ $b + \sqrt[3]{ab^2} = \sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})$ Отношение: $\frac{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab})}{\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})} = \frac{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{b^2}}$ 2. Вычтем 1: $\frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{b^2}} - 1 = \frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b^2}}$ 3. Разделим на знаменатель $\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$: $\frac{(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{b^2} \cdot (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})} = \frac{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{b^2}(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})} = \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^2}}$ 4. Вычтем $\frac{1}{\sqrt[3]{b}}$: $\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^2}} - \frac{1}{\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^2}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b^2}}$ 5. Возведем в куб: $(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b^2}})^3 = \frac{a}{b^2}$ **Ответ:** $\frac{a}{b^2}$ ### Решение 11.60 Выражение: $\left( \frac{(\sqrt[4]{a^3} + \sqrt[4]{b^3})(\sqrt[4]{a^3} - \sqrt[4]{b^3})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \sqrt{ab} \right) : \frac{a+b}{2}$ 1. Числитель первой дроби по формуле разности квадратов: $(\sqrt[4]{a^3})^2 - (\sqrt[4]{b^3})^2 = \sqrt{a^3} - \sqrt{b^3}$. Это разность кубов: $(\sqrt{a})^3 - (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)$. 2. Дробь принимает вид: $\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = a + \sqrt{ab} + b$. 3. Вычитаем $\sqrt{ab}$: $a + \sqrt{ab} + b - \sqrt{ab} = a + b$. 4. Делим на $\frac{a+b}{2}$: $(a+b) : \frac{a+b}{2} = (a+b) \cdot \frac{2}{a+b} = 2$. **Ответ:** 2 ### Решение 11.61 Выражение: $\left( \frac{\sqrt[4]{ab^3} - \sqrt[4]{a^3b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{1 + \sqrt{ab}}{\sqrt[4]{ab}} \right)^{-2} \cdot \sqrt{1 + \frac{a}{b} + 2\sqrt{\frac{a}{b}}}$ 1. Первая скобка: $\frac{\sqrt[4]{ab}(\sqrt[4]{b^2} - \sqrt[4]{a^2})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt[4]{ab}(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = -\sqrt[4]{ab}$ Второе слагаемое: $\frac{1 + \sqrt{ab}}{\sqrt[4]{ab}} = \frac{1}{\sqrt[4]{ab}} + \sqrt[4]{ab}$. Сумма: $-\sqrt[4]{ab} + \frac{1}{\sqrt[4]{ab}} + \sqrt[4]{ab} = \frac{1}{\sqrt[4]{ab}} = (ab)^{-1/4}$. Возводим в степень $-2$: $((ab)^{-1/4})^{-2} = (ab)^{1/2} = \sqrt{ab}$. 2. Корень: $\sqrt{1 + \frac{a}{b} + 2\sqrt{\frac{a}{b}}} = \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{a}{b}})^2} = 1 + \sqrt{\frac{a}{b}} = 1 + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b} + \sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. 3. Произведение: $\sqrt{ab} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \sqrt{a} \sqrt{b} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a + \sqrt{ab}$. **Ответ:** $a + \sqrt{ab}$