Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

375. Пусть дан параллелограмм $ABCD$, биссектриса угла $A$ делит сторону $BC$ на отрезки $BK=7$ см и $KC=14$ см (или наоборот). Так как $AD \parallel BC$, то $\angle KAD = \angle AKB$ (как накрест лежащие). Учитывая, что $AK$ — биссектриса, $\angle BAK = \angle KAD = \angle AKB$. Треугольник $ABK$ равнобедренный, значит $AB = BK = 7$ см. Сторона $BC = BK + KC = 7 + 14 = 21$ см. Так как $AB = CD = 7$ см и $BC = AD = 21$ см, периметр $P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (7 + 21) = 2 \cdot 28 = 56$ см. Возможен второй случай, когда биссектриса делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, где другая сторона равна 14 см, тогда $AB = 14$ см, $BC = 21$ см, $P = 2 \cdot (14 + 21) = 70$ см. Ответ: 56 см или 70 см. 376. В параллелограмме соседние углы в сумме дают 180°, а противоположные равны ($\angle A = \angle C, \angle B = \angle D$). а) $\angle A = 84^\circ$. Тогда $\angle C = 84^\circ$. $\angle B = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$. $\angle D = 96^\circ$. б) $\angle A - \angle B = 55^\circ$ и $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Сложим уравнения: $2\angle A = 235^\circ$, $\angle A = 117{,}5^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - 117{,}5^\circ = 62{,}5^\circ$. в) $\angle A + \angle C = 142^\circ$. Так как $\angle A = \angle C$, то $2\angle A = 142^\circ$, $\angle A = 71^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$. г) $\angle A = 2\angle B$. Тогда $2\angle B + \angle B = 180^\circ$, $3\angle B = 180^\circ$, $\angle B = 60^\circ$. Значит $\angle A = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. д) В $\triangle ACD$ сумма углов $180^\circ$. $\angle D = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^\circ - (16^\circ + 37^\circ) = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$. Тогда $\angle B = 127^\circ$, а $\angle A = 180^\circ - 127^\circ = 53^\circ$. Значит $\angle C = 53^\circ$.