2.3. 1) Точки А и B расположены по разные стороны от прямой a, C ∈ a, AB = 37 дм, AC = 12 дм, CB = 26 дм. Является ли точка C точкой пересечения отрезка AB и прямой a?

Допущение: в первом задании подразумевается «Точки A и B расположены по разные стороны от прямой a». 1) Точки A и B лежат по разные стороны от прямой $a$. Если точка $C$ лежит на прямой $a$ и является точкой пересечения отрезка $AB$ и этой прямой, то должно выполняться равенство $AC + CB = AB$. Проверим: $12 \text{ дм} + 26 \text{ дм} = 38 \text{ дм}$. По условию $AB = 37 \text{ дм}$. Так как $38 \neq 37$, равенство не выполняется. **Ответ:** нет, точка $C$ не является точкой пересечения отрезка $AB$ и прямой $a$. 2) Дано: $AB = 58 \text{ см}$, $CD = 2,8 \text{ дм} = 28 \text{ см}$. Точки $C$ и $D$ лежат на отрезке $AB$, причем $C$ лежит между $A$ и $D$, $AC = DB$. Пусть $AC = DB = x$. Тогда $AB = AC + CD + DB = x + 28 + x = 2x + 28$. $2x + 28 = 58 \Rightarrow 2x = 30 \Rightarrow x = 15 \text{ см}$. Значит, $AC = 15 \text{ см}$, $DB = 15 \text{ см}$. Пусть $M$ — середина $AC$, а $N$ — середина $DB$. Расстояние от $A$ до $M$ равно $AC / 2 = 15 / 2 = 7,5 \text{ см}$. Расстояние от $N$ до $B$ равно $DB / 2 = 15 / 2 = 7,5 \text{ см}$. Искомое расстояние $MN = AB - AM - NB = 58 - 7,5 - 7,5 = 58 - 15 = 43 \text{ см}$. **Ответ:** 43 см.