Решить систему уравнений методом Гаусса: -x1 - 4x2 + 6x3 = 2; 2x1 + 5x2 - 5x3 = 0; x1 + x2 + x3 = 2.

Для решения системы уравнений методом Гаусса составим расширенную матрицу и приведем её к ступенчатому виду. $$\begin{pmatrix} -1 & -4 & 6 & | & 2 \\ 2 & 5 & -5 & | & 0 \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}$$ 1. Поменяем 1-ю и 3-ю строки местами для удобства вычислений: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 2 & 5 & -5 & | & 0 \\ -1 & -4 & 6 & | & 2 \end{pmatrix}$$ 2. Ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на -2; к 3-й строке прибавим 1-ю: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 3 & -7 & | & -4 \\ 0 & -3 & 7 & | & 4 \end{pmatrix}$$ 3. К 3-й строке прибавим 2-ю: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 3 & -7 & | & -4 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$$ Последняя строка стала нулевой. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений. Введем свободный параметр $x_3 = t$. 4. Из 2-го уравнения: $3x_2 - 7t = -4 \Rightarrow 3x_2 = 7t - 4 \Rightarrow x_2 = \frac{7}{3}t - \frac{4}{3}$. 5. Из 1-го уравнения: $x_1 + x_2 + x_3 = 2 \Rightarrow x_1 = 2 - x_2 - x_3 = 2 - (\frac{7}{3}t - \frac{4}{3}) - t = 2 + \frac{4}{3} - \frac{7}{3}t - t = \frac{10}{3} - \frac{10}{3}t$. **Ответ:** $x_1 = \frac{10}{3}(1 - t), x_2 = \frac{7t - 4}{3}, x_3 = t$, где $t$ — любое число.