1. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1. Найдите наибольший общий делитель (НОД) чисел: 1) 16 и 36: $16 = 2^4$, $36 = 2^2 \cdot 3^2$. НОД(16, 36) = $2^2 = 4$. 2) 15 и 45: $15 = 3 \cdot 5$, $45 = 3^2 \cdot 5$. НОД(15, 45) = $3 \cdot 5 = 15$. 3) 72 и 108: $72 = 2^3 \cdot 3^2$, $108 = 2^2 \cdot 3^3$. НОД(72, 108) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$. 4) 360 и 336: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$, $336 = 2^4 \cdot 3 \cdot 7$. НОД(360, 336) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$. 5) 28, 84 и 98: $28 = 2^2 \cdot 7$, $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$, $98 = 2 \cdot 7^2$. НОД(28, 84, 98) = $2 \cdot 7 = 14$. 2. Составьте из чисел 9, 21, 32, 56 все пары взаимно простых чисел. Взаимно простые числа — те, у которых НОД равен 1. - (9, 32): $9=3^2$, $32=2^5$. НОД=1. - (9, 56): $9=3^2$, $56=2^3 \cdot 7$. НОД=1. - (21, 32): $21=3 \cdot 7$, $32=2^5$. НОД=1. - (32, 56) не подходят (делятся на 8). - (21, 56) не подходят (делятся на 7). - (9, 21) не подходят (делятся на 3). Пары: (9, 32), (9, 56), (21, 32). 3. Запишите все неправильные дроби с числителем 24, у которых знаменатель — взаимно простые с числом 24 числа. Число $24 = 2^3 \cdot 3$. Дробь называется неправильной, если числитель больше или равен знаменателю ($\frac{24}{x} \ge 1$, значит $x \le 24$). Ищем знаменатели $x \le 24$, у которых НОД(x, 24) = 1: Это числа: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Дроби: $\frac{24}{1}, \frac{24}{5}, \frac{24}{7}, \frac{24}{11}, \frac{24}{13}, \frac{24}{17}, \frac{24}{19}, \frac{24}{23}$. 4. Докажите, что числа 468 и 833 — взаимно простые. Разложим на множители: $468 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 13$ $833 = 7^2 \cdot 17$ У чисел нет общих множителей, значит НОД(468, 833) = 1. Числа взаимно простые. 5. Между учениками 6 класса поровну разделили 72 бутерброда и 48 пирожных. Сколько учеников в классе, если известно, что их больше 20? Количество учеников должно быть общим делителем чисел 72 и 48. Делители 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Делители 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Общие делители: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Так как учеников больше 20, это число 24. Ответ: 24 ученика.