1. У Пети есть палочки длинами 3, 5, 9, 15 и 23 см. Может ли он собрать треугольник, используя любые три палочки и не ломая ни одну из них? Ответ обосновать.

1. Чтобы составить треугольник, сумма двух меньших сторон должна быть больше самой большой стороны (неравенство треугольника). Проверим варианты: - 3, 5, 9: 3+5=8 < 9 (нет) - 5, 9, 15: 5+9=14 < 15 (нет) - 9, 15, 23: 9+15=24 > 23 (да) Ответ: Да, может (из палочек 9, 15 и 23 см). 2. Нам нужно максимизировать периметр $P = a+b+c$. Пользуясь неравенством треугольника ($a+b > c$), возьмем самые длинные палочки: 9, 15 и 23. Их сумма: 9 + 15 + 23 = 47. Ответ: 47 см. 3. Количество прямых, проходящих через $n$ точек, равно количеству сочетаний из $n$ по 2, то есть $\frac{n(n-1)}{2}$. а) 2 точки: $\frac{2(1)}{2} = 1$ прямая. б) 3 точки: $\frac{3(2)}{2} = 3$ прямые. в) 4 точки: $\frac{4(3)}{2} = 6$ прямых. г) 5 точек: $\frac{5(4)}{2} = 10$ прямых. 4. Количество частей, на которые делят плоскость $n$ прямых в общем положении, равно $\frac{n(n+1)}{2} + 1$. а) 1 прямая: $\frac{1(2)}{2} + 1 = 2$ части. б) 2 прямые: $\frac{2(3)}{2} + 1 = 4$ части. в) 3 прямые: $\frac{3(4)}{2} + 1 = 7$ частей. г) 4 прямые: $\frac{4(5)}{2} + 1 = 11$ частей.