На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB = QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.

Решение задачи 484: Дано: $ABCD$ — параллелограмм. Точки $P$ и $Q$ лежат на диагонали $BD$, причем $PB = QD$. Доказать: $APCQ$ — параллелограмм. Доказательство: 1. Рассмотрим диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$. По свойству параллелограмма, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как $O$. Тогда $AO = OC$ и $BO = OD$. 2. По условию, $PB = QD$. 3. Так как $BO = DO$ и $PB = QD$, то отрезки $PO$ и $QO$ также равны: $PO = BO - PB$ $QO = DO - QD$ Так как $BO = DO$ и $PB = QD$, то $PO = QO$. 4. Таким образом, в четырёхугольнике $APCQ$ диагонали $AC$ и $PQ$ точкой пересечения $O$ делятся пополам ($AO = OC$ и $PO = QO$). 5. По признаку параллелограмма (если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм), $APCQ$ является параллелограммом. Что и требовалось доказать. *** Теория из задания 485: Определение средней линии треугольника: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Свойства средней линии треугольника: 1. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон. 2. Средняя линия треугольника равна половине этой стороны.