Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

3. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника (по одному при каждой вершине) всегда равна 360°. Это логично, потому что если вы будете обходить фигуру по периметру и поворачиваться на каждом углу, то к концу пути совершите ровно один полный оборот вокруг своей оси. 4. Нарисуй произвольный четырехугольник $ABCD$. У него стороны $AB$ и $CD$ (а также $BC$ и $DA$) называются противоположными, так как не имеют общих вершин. Вершины $A$ и $C$ (а также $B$ и $D$) — противоположные. 5. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна 360°. Пояснение: если провести диагональ, четырехугольник разобьется на два треугольника. Сумма углов каждого треугольника $180°$, значит $180° \times 2 = 360°$. 6. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Да, любой параллелограмм является выпуклым, так как его диагонали всегда лежат внутри него. 7. В параллелограмме противоположные стороны равны (как отрезки параллельных прямых между параллельными) и противоположные углы равны (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей). 8. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, так как образующиеся при их пересечении треугольники равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам). 9. Признаки параллелограмма: - Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны. - Если две стороны равны и параллельны. - Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 12. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые ($90°$). 13. Доказательство: в прямоугольнике диагонали равны, потому что они являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников, образованных сторонами прямоугольника. 14. Если в параллелограмме диагонали равны, то он прямоугольник (это обратное утверждение к предыдущему пункту). 15. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. 16. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($90°$) и являются биссектрисами его углов, так как ромб обладает осевой симметрией относительно своих диагоналей. 17. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (или ромб, у которого все углы прямые). Свойства: все стороны равны, все углы $90°$, диагонали равны, взаимно перпендикулярны и делят углы пополам. 18. Признаки квадрата: если у прямоугольника диагонали перпендикулярны или стороны равны; если у ромба углы прямые или диагонали равны. 19. Признаки ромба: если у параллелограмма диагонали перпендикулярны или диагонали являются биссектрисами его углов.