Проведите через одну точку три прямые. Можно ли теперь провести четвёртую прямую так, чтобы она пересекала только: а) две; б) одну из этих прямых?

5. Пусть три прямые $a, b, c$ пересекаются в одной точке $O$. Четвертая прямая $d$ не может пересекать только две из них, так как она обязательно пересечет третью прямую в другой точке (если $d$ проходит через $O$, то она пересекает все три; если не проходит через $O$, то пересекает все три в точках, отличных от $O$). Аналогично, невозможно провести прямую так, чтобы она пересекала только одну из трех прямых, пересекающихся в одной точке. Ответ: нельзя. 6. Чтобы четыре прямые пересекались ровно в четырех точках, их можно расположить так, чтобы они образовывали замкнутый четырехугольник (каждые две соседние стороны пересекаются, противоположные стороны параллельны — но по условию прямые должны пересекаться, поэтому этот вариант не подходит) или, например, так: три прямые образуют треугольник (3 точки пересечения), а четвертая прямая пересекает две стороны этого треугольника в двух новых точках, проходя через одну из вершин. Однако самое простое решение — расположить прямые так, чтобы они образовывали треугольник, и четвертая прямая была параллельна одной из сторон, тогда будет 3 точки пересечения. Чтобы получить ровно 4 точки, нужно расположить три прямые так, чтобы они образовывали треугольник, а четвертая прямая проходила через одну из вершин (всего 3 точки), или пересекала две стороны (плюс 2 точки). Чтобы получить ровно 4, можно расположить прямые так: две параллельные прямые, которые пересекаются двумя другими прямыми, которые тоже параллельны друг другу. Тогда получится 4 точки пересечения (вершины параллелограмма). 7. Если проводить пять прямых так, чтобы каждая пересекала остальные и никакие три не проходили через одну точку, то количество точек пересечения определяется по формуле количества сочетаний из 5 по 2: $C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$. Ответ: 10 точек.