1) Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60° , а радиус окружности равен 8.

Решим задачи по очереди: 1) Дано: касательные из точки A к окружности, угол между ними 60°, радиус 8. Пусть касательные касаются в точках M и N. Треугольник OMA — прямоугольный (радиус перпендикулярен касательной). Угол OAM = 60°/2 = 30°. Тогда AO = OM / sin(30°) = 8 / 0,5 = 16. 2) В окружности с центром O проведены диаметры AD и BC. Треугольники OAB и OCD равны (по двум сторонам и углу между ними, так как AO=OD=OB=OC как радиусы, а вертикальные углы AOB и DOC равны). Значит, угол OCD = углу OAB = 25°. 3) Точки S, T, V лежат на окружности, STOV — ромб. В ромбе все стороны равны (радиусы окружности). Значит, ST=TO=OV=VS=r. Треугольник TOV — равносторонний, значит угол TOV = 60°. Угол OVT — угол равностороннего треугольника, равен 60°. 4) Точка O — центр. Угол AOB = 84°. Угол ACB — вписанный, опирающийся на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB. По теореме о вписанном угле, ACB = AOB / 2 = 84° / 2 = 42°. 5) Аналогично задаче №2: треугольники OAB и OCD равны, так как AO=OD=OB=OC (радиусы) и углы AOB и COD вертикальные. Значит, угол OCD = углу OAB = 70°. 6) AC и BD — диаметры. Угол AOD = 122°. Угол AOB и AOD смежные, значит AOB = 180° - 122° = 58°. Угол ACB — вписанный, опирающийся на дугу AB. Центральный угол AOB опирается на ту же дугу. Угол ACB = AOB / 2 = 58° / 2 = 29°. 7) Окружность описана около треугольника ABC (AB=BC). Угол ABC = 123°. Треугольник ABC равнобедренный, значит углы при основании BAC = BCA = (180° - 123°)/2 = 57°/2 = 28,5°. Угол BOC — центральный, опирается на дугу BC. Угол BAC — вписанный, опирается на ту же дугу BC, значит BOC = 2 * BAC = 2 * 28,5° = 57°. 8) Окружность около треугольника ABC (AB=BC). Угол ABC = 28°. Углы при основании BAC = BCA = (180° - 28°)/2 = 152°/2 = 76°. Угол BOC — центральный, опирается на дугу BC. Вписанный угол BAC опирается на дугу BC. BOC = 2 * BAC = 2 * 76° = 152°.