Question

На рисунке в параллелограмме ABCD на сторонах BC и AD отмечены точки M и N так, что BM = DN. Докажите, что четырехугольник AMCN — параллелограмм.

Accepted Answer

Задание 13

Доказательство:
Так как по условию ABCD — параллелограмм, то его противоположные стороны BC и AD параллельны и равны, т.е. BC || AD, BC = AD. Так как MC = BC - BM, AN = AD - DN, и так как BM = DN, то MC = AN.
Таким образом, в четырехугольнике AMCN две противоположные стороны AM и CN параллельны и равны (AM || CN, AM = CN), следовательно, AMCN — параллелограмм.

Задание 14

Доказательство:
1) Так как EFKP — параллелограмм, то по свойствам параллелограмма ∠F = ∠P, ∠E = ∠K и EF = KP, EP = FK. По условию FM = PT, EL = KN и EM = EF - FM, KT = PK - PT, поэтому EM = KP - PT = KT, PL = EP - EL = FK - KN = FN.
2) ΔMEL = ΔKTN по двум сторонам и углу между ними (по стороне, углу и стороне: EM = KT, ∠E = ∠K, EL = KN). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон ML и TN.
3) Аналогично ΔMFN = ΔTPK (по стороне, углу и стороне: FM = PT, ∠F = ∠P, FN = PK - KT = EP - EL = PL = FK - FM = EM - это неверно, здесь проще: FN = FK - KN = EP - KN), откуда MN = TP.
*Корректнее:* ΔMFN = ΔTPL (FM = PT, ∠F = ∠P, FN = PL), откуда MN = TL.
Итак, в четырехугольнике MLTN противоположные стороны ML и TN, MN и TL попарно равны, следовательно, MLTN — параллелограмм.

На рисунке в параллелограмме ABCD на сторонах BC и AD отмечены точки M и N так, что BM = DN. Докажите, что четырехугольник AMCN — параллелограмм.

Ответ ассистента

Другие решения