Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны a и b. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания, равную b, угол в 30°. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть стороны основания параллелепипеда равны $a$ и $b$, а высота параллелепипеда равна $h$. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$. 1. Рассмотрим боковую грань, которая содержит сторону $b$. В этой грани диагональ грани, проведенная из той же вершины, что и диагональ параллелепипеда, имеет длину $d_b = \sqrt{b^2 + h^2}$. 2. Диагональ параллелепипеда $D$ образует с этой гранью угол $30^\circ$. Диагональ параллелепипеда проектируется на эту грань как диагональ грани $d_b$. Угол между диагональю параллелепипеда и гранью — это угол между диагональю параллелепипеда и ее проекцией на эту грань (диагональю грани). 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $D$, диагональю боковой грани $d_b$ и боковым ребром $a$ (которое перпендикулярно грани с $b$). В этом треугольнике катет, противолежащий углу $30^\circ$, — это ребро $a$. Гипотенуза — диагональ параллелепипеда $D$. Другой катет — диагональ грани $d_b = \sqrt{b^2 + h^2}$. По определению тангенса: $\tan 30^\circ = \frac{a}{\sqrt{b^2 + h^2}}$. $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{b^2 + h^2}} \Rightarrow \sqrt{b^2 + h^2} = a\sqrt{3}$. Возведем обе части в квадрат: $b^2 + h^2 = 3a^2 \Rightarrow h^2 = 3a^2 - b^2 \Rightarrow h = \sqrt{3a^2 - b^2}$. 4. Объем $V = a \cdot b \cdot h = ab\sqrt{3a^2 - b^2}$. Ответ: $ab\sqrt{3a^2 - b^2}$.