Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны a и b. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания, равную b, угол в 30°. Найдите объём параллелепипеда.

Question

Вопрос:

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны a и b. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания, равную b, угол в 30°. Найдите объём параллелепипеда.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть стороны основания параллелепипеда равны $a$ и $b$, а высота — $h$. Основанием служит прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Диагональ основания, которая лежит в боковой грани со стороной $b$, равна $a$. Рассмотрим боковую грань, содержащую сторону $b$. В этой грани диагональ параллелепипеда образует угол $30^\circ$ с гранью. Это значит, что если мы опустим перпендикуляр из конца диагонали на ребро основания $b$, то получим прямоугольный треугольник. В нем катет, противолежащий углу $30^\circ$ (это высота параллелепипеда $h$), относится к прилежащему катету (диагонали основания, равной $a$) как $\tan 30^\circ$. 1. Диагональ основания, лежащая в боковой грани со стороной $b$, — это сторона $a$ (так как основание — прямоугольник). 2. Высота $h$ связана с $a$ соотношением: $h = a \cdot \tan 30^\circ = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$. 3. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$. 4. Площадь основания $S_{осн} = a \cdot b$. 5. Подставляем значения: $V = (a \cdot b) \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a^2b}{\sqrt{3}} = \frac{a^2b\sqrt{3}}{3}$. Ответ: $\frac{a^2b\sqrt{3}}{3}$

Ответ ассистента

Другие решения